Warum gilt f^{-1} in den jeweiligen Integrationsbereichen der untengeschriebenen Integrale als "wohldefiniert"?

Question

gegeben sind folgende Integrale:

1.Integral von -2* Wurzel (ln(2)) bis 2* Wurzel (ln(2)) von f^{-1}dx mit f(x) = x*e hoch x hoch 2

2. Integral von f(0) bis f(pi/4) von f^{-1}dx  mit f(x) = sin (x) +x

Ich würde gerne wissen, warum in beiden Fällen das f^{-1} in den jeweiligen Integrationsbereichen als "wohldefiniert" gilt und wie man in so einem Fall das Integral ausrechnet.

Answer 1

um zu zeigen, dass die Umkehrfunktion wohldefiniert ist, muss man zeigen, dass die Ausgangsfunktion bijektiv (injektiv+surjektiv) ist.

Ein Kriterium für die Injektivität ist streng monotones Wachstum. Die Surjektivität erreicht man, indem man den Definitionsbereich und Wertebereich geeignet wählt.

Bei Aufgabe a) kann ich deine Funktion nicht identifizieren, da die Klammerung nicht eindeutig ist. Aber da nur x*e^x und dann nochmal hoch 2 steht, ist die Funktion vermutlich streng monoton wachsend.

Bei Aufgabe b) weiß man, dass sin(x) und x für x∈[0,π/4] streng monoton wachsen,

W=[0,√(1/2)+π/4]

Die Umkehrfunktion existiert also.

Für die explizite Berechnung gilt:

∫_a^b f(x)dx+∫_f(a)^f(b)f^{-1}(y)dy=b*f(b)-a*f(a)

Das kannst nach dem gesuchten Integral ∫_f(a)^f(b)f^{-1}(y)dy umstellen und ausrechnen.

Die Umkehrfunktion selber brauchst du also gar nicht zu bestimmen.

Comments

Das x*e hoch x hoch 2 soll bedeuten, dass das x im Exponent nochmal quadriert wird.

Zwei Fragen hätte ich da noch.

Meinst du den Definitions- und Wertebereich wählen oder erschließen? Weil bei b) hast du ja auch anhand des Integrals auf den Definitions- und Wertebereich geschlossen.

Zu meiner zweiten Frage:

Wäre es vielleicht möglich, dass du mir anhand eines der beiden Integrale zeigst, wie man auf das Integral kommt?

Das wäre wirklich eine große Hilfe, weil ich das noch nicht ganz so richtig verstanden habe.

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Ja, den Definitionsbereich und Wertebereich musst du dir erschließen.

1) f(x)=x*e^{x^2}

Ableitung: f'(x)=e^{x^2}+2x^2*e^{x^2} >0 für alle x∈ℝ --> Injektiv

f(-2*sqrt(ln(2)))=-32*sqrt(ln(2))

f(2*sqrt(ln(2)))=32*sqrt(ln(2))

Formel:

∫_a^b f(x)dx+∫_f(a)^f(b)f^-1(y)dy=b*f(b)-a*f(a) 

-->∫_f(a)^f(b)f^-1(y)dy=b*f(b)-a*f(a)- ∫_a^b f(x)dx

  =- ∫_a^b f(x)dx  (b*f(b)-a*f(a) fällt hier weg wegen der Punktsymmetrie der Werte )

 =- ∫_a^b x*e^{x^2}dx

=-e^{1/2*x^2}|_a^b=-4+4=0

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Obwohl, es würde auch reichen, wenn du mir sagst, was das f^-1(y)dy ist. Sieht ganz nach einer Substitution aus.

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f^{-1}(y) kann man nicht berechnen, da man y=x*e^{x^2}

oder y=x+sin(x) nicht nach x mit elementaren Funktionen ausdrücken kann.

Deswegen nutzt man die von mir genannte Formel, um diese Hürde zu überwinden.

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Ah, ich habe es jetzt endlich verstanden! Danke sehr :)

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Nochmal kurz eine Anmerkung:

"- ∫_a^b x*e^{x^2}dx

=-e^{1/2*x^2}|_a^b=-4+4=0"..müsste es nicht -(1/2) *e^{*x^2} sein?

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Ja,da hast du Recht. Am Endergebnis 0 ändert es zum Glück nichts

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ja stimmt :)