Das elementare Integral einer Treppenfunktion ist wohldefiniert

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie: Das elementare Integral einer Treppenfunktion ist wohldefiniert,
d.h. der Wert des Integrals \( \int\limits_{a}^{b} \) φ dx hängt nicht von der gewählten Zerlegung ab

Problem/Ansatz:

Wie ist hierbei vorzugehen

Answer 1

Es bezeichne \(\int_Z \varphi dx\) das elementare Integral der

Treppenfunktion \(\varphi\) zur Zerlegung \(Z\).

Zeige dann für \(Z_1\subseteq Z_2\), dass

\(\int_{Z_1} \varphi \, dx= \int_{Z_2}\varphi \, dx\quad(*) \)

und schließe daraus für zwei Zerlegungen \(Z_1,Z_2\), dass

gilt \(\int_{Z_1} = \int_{Z_1\cup Z_2}=\int_{Z_2}\) ist.

Um \((*)\) zu zeigen, reicht es, die Situation \(Z_2=Z_1\cup \{x\}\)

zu betrachten für ein \(x\in [a,b]\backslash Z_1\).