Für welche Werte von a berührt die Parabel a den Graphen G der Geraden nur einmal?

Question

Für welche Werte von a berührt die Parabel Pa den Graphen G der Geraden nur einmal?

G = 2y - x - 3,5

pa (x) = -0,25 x² + ax + 0,25 - a

Comments

Die Geradengleichung ist leider nicht korrekt angegeben.

G = 2y - x - 3,5

2y - x - 3,5 = 0 ?

2y = - x - 3,5 ?

Answer 1

Hi,

schreibe die Gerade sauber hin und dann schaue nach einer doppelten Nullstelle, wenn Du beide gleichsetzt, denn dann liegt ein Berührpunkt vor :)

(Ich gehe mal davon aus, dass die Gerade lauten soll G: 0 = 2y - x - 3,5)

2y = x + 3,5

y = 0,5x + 1,75

Gleichsetzen:

0,5x + 1,75 = -0,25x^2 + ax + 0,25 - a      |sortieren

0,25x^2 + (0,5-a)x + (1,5 + a) = 0             |*4

x^2 + 4(0,5-a)x + 4(1,5+a) = 0                  |pq-Formel

x_(1,2) = -2(0,5-a) ± √( (2(0,5-a))^2 - 4(1,5+a))

Nun brauchen wir nur die Wurzel anschauen. Wird diese 0 haben wir eine doppelte Nullstelle:

(2(0,5-a))^2 - 4(1,5+a) = 0

4a^2 -8a - 6 = 0      |:4, dann pq-Formel

a_(1) = -0,5

a_(2) = 2,5

Die gesuchten Parabeln sind also

y_(1) = -0,25x^2 - 0,5x + 0,75

y_(2) = -0,25x^2 + 2,5x - 2,25

Alles klar?

Zur Veranschaulichung:

~plot~ 1/2*x+1,75; -0,25x^2 -0,5x + 0,75; -0,25x^2 + 2,5x - 2,25 ; [[-6|12|-5|5]] ~plot~

Grüße

Answer 2

g ( x ) = 0,5x + 1,75
f ( x ) = -0.25 * x ^2  + a*x + 0.25 - a

Hier die Variante mit Diff-Rechnung
für eine Tangente gilt
f ( x ) = g ( x )  | der Funktionswert an der Stelle x ist gleich
f ´( x ) = g ´ ( x )  | die Steigung an der Stelle x ist gleich

g ´ ( x ) = 0.5
f ´( x ) = - 0.5 * x + a
-0.5 * x + a = 0.5
a = 0.5 + 0.5 * x

f ( x ) = g ( x )
-0.25 * x ^2  + a*x + 0.25 - a = 0.5 * x + 1.75
-0.25 * x ^2  + ( 0.5 + 0.5 * x ) * x + 0.25 - ( 0.5 + 0.5 * x )  = 0.5 * x + 1.75
x = -2
und
x = 4

a = -0.5
und
a = 2.5