Quadrate und Rechtecke im Schachbrett

Question

Wie viel (nichtquadratische) Rechtecke und Quadrate lassen sich auf dem Schachfeld mit seinen 64 Feldern entdecken? Es gibt 64 Quadrate der Größe 1x1, aber nur ein 8x8 Quadrat. Die kleinsten Rechtecke, die keine Quadrate sind, haben die Größe von 1x2 bzw. 2x1 Feldern. Also: Wie viele verschiedene Quadrate und Rechtecke lassen sich auf einem Schachbrett finden? Und zum Schluss sagt mein Lehrer: Vielleicht findet ja auch jemand eine Formel dafür?

Answer 1

Wie viele 1x1 Rechtecke findet man:

Wie viele 1x2 Rechtecke findet man:

Wie viele 1x3 Rechtecke findet man:

Wie viele 1x4 Rechtecke findet man:

Wie viele 1x5 Rechtecke findet man:

Wie viele 1x6 Rechtecke findet man:

Wie viele 1x7 Rechtecke findet man:

Wie viele 1x8 Rechtecke findet man:

Wie viele 2x1 Rechtecke findet man:

Wie viele 2x2 Rechtecke findet man:

Wie viele 2x3 Rechtecke findet man:

etc. ...

Fällt dir etwas auf. Wie kann man das geschickt berechnen?

Wie kann man jetzt eventuell die Summe aus allen berechnen.

Bist du Student solltest du es ohne Probleme schaffen. Bist du Schüler, kannst du dir eventuell von Wolframalpha helfen lassen.

Schau mal ob

n^4/4 + n^3/2 + n^2/4 = 8^4/4 + 8^3/2 + 8^2/4 = 1296 irgendwie Sinn macht.

Man könnte auch die Formel mal für kleinere Quadrate testen.

Comments

Ich bin 11 Jahre alt. Ich weiß gar nicht, was diese n bedeuten.

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Die Antwort hatte ich auch gegeben bevor ich wusste das du 11 bist. Die Antworten darüber solltest du aber beantworten können. Ich habe das nur allgemein für ein nxn Schechbrett gemacht.

Wenn man also für n = 1 einsetzt dann fragt man wie viele Rechtecke sich darin einzeichnen lassen. Genau so für n = 2, n = 3 und eben auch für n = 8.

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Aber woher soll ich wissen, was ich für n einsetzen soll? Das ist doch die Frage. Soll man das raten? ㏌ Mathe rät man doch nicht.

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Ich habe doch die Formel aufgestellt und demnach weiß ich auch das ich für die beantwortung deiner Frage n = 8 einsetzen muss weil du ein 8 mal 8 schachbrett hast.

Aber die Formel geht auch wenn man ein brett mit 12 x 12 kleinen quadraten hätte. dann muss man nur für n = 12 einsetzen.

Aber das brauchst du nicht. Du sollst es ja nur für 8 machen.

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Ahhhhhhh, OK:)

Leider kann ich deine Formel nicht richtig verstehen. Mir wird nicht klar, warum der Exponent bei dir immer um einen vermindert wird und warum du drei Summanden hast.

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Meinst du ich habe die Formel gleich so aufgeschrieben? Das wird in den seltensten Fällen gelingen. Vor allem nicht wenn man in der 5. Klasse ist. Fange also nicht beim Ergebnis an sondern bei der Aufgabe.

DU SOLLTEST DEN ERSTEN AUFGABENTEIL LÖSEN:

Wie viele 1x1 Rechtecke findet man:
Wie viele 1x2 Rechtecke findet man:
Wie viele 1x3 Rechtecke findet man:
Wie viele 1x4 Rechtecke findet man:
Wie viele 1x5 Rechtecke findet man:
Wie viele 1x6 Rechtecke findet man:
Wie viele 1x7 Rechtecke findet man:
Wie viele 1x8 Rechtecke findet man:
Wie viele 2x1 Rechtecke findet man:
Wie viele 2x2 Rechtecke findet man:
Wie viele 2x3 Rechtecke findet man:

etc. ...

Fällt dir etwas auf. Wie kann man das geschickt berechnen?

Wie kann man jetzt eventuell die Summe aus allen berechnen.

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@MC : Siehst du eine einfache Erklärung, warum die gesuchte Anzahl gerade die Summe der dritten Potenzen ist ?

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Ich verstehe momentan nicht mal welche Summe der dritten Potenzen du meinst. Steht hier irgendeine Formel aus der Summe von dritten Potenzen?

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Ich meine, dass deine Formel   n⁴/4 + n³/2 + n²/4   eben gerade   ∑_i=1 ⁿ  i³   ist  und meine Frage war, ob es dafür eine anschauliche einfache Erklärung gibt  (die, wenn man sie kennt, direkt zu deiner Formel führen würde).

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Davon hab ich auch geredet. Ich verstehe nicht, woher die Potenzen kommen. Und warum sie weniger werden jeweils um 1. Wenn ich dein Beispiel zähle 1x2 1x3 usw dann komme ich auf 8. sind es bei 2x1 2x2 usw dann 7? Aber wieso tauchen diese Zahlen ㏌ deiner n Formel nicht auf? Tut mir wirklich sehr Leid, aber ich bin 11 und kein Mathegenie und daher wäre es lieb, wenn du mir irgendwie erläutern könntest, wieso es bei deinen n drei Summanden gibt und warum n4/4 und dann aber n3/2 und dann aber wieder n2/4. also warum 4 und dann 2 und dann 4.

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Nein. Bis jetzt kannte ich das nicht. Ich hatte auch nicht gesehen, dass es die Summe der Kubikzahlen ist.

Aber ich weiß jetzt worauf es hinauslaufen muss. k^3 ist genau die Anzahl die dazu kommt, wenn ich das Quadrat von (k1)x(k-1) Kästchen auf kxk Kästchen erweiter.

Aber ich brauch vermutlich noch etwas um das anschaulich erklären zu können.

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Mein systematisches Herumtüfteln ergab, dass sich ein kleines Quadrat der Seitenlänge q in einem größeren Quadrat der Seitenlänge Q mit folgender Anzahl von Positionen auf ganzzahligen Feldern einsetzen läßt:

$$H= (Q+1-q)^2 $$

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@Oscariusz:

Du siehst ja selber das ich noch lange nicht so gut bin wie hj2144. Ich habe bisher auch nur Anwendungsmathematik gemacht und mich vor Beweisen und solch Kram immer gut gedrückt. Ich kann diese Aufgabe recht gut mit den mir zu Verfügung stehenden Mitteln gut lösen.

Inzwischen weiß ich auch worauf hj2144 hinaus will.

Man überlegt sich das tatsächlich zunächst für ein 1x1 Schachbrett und stellt fest dass man dort nur 1 Rechteck reinlegen kann.

Als nächstes nimmt man sich ein 2x2 Schachbrett und stellt fest das man dort 2^3 = 8 zusätzlich reinlegen kann. Also es insgesamt 9 Möglichkeiten gibt.

Als nächstes kommt ein 3x3 Schachbrett. Man stellt fest das man hier 3^3 = 27 rechtecke zu den bisherigen 9 einzeichnen kann.

So macht man weiter bis zu einem 8x8 schachbrett.

Ich war etwas anders vorgegangen. ich war gleich mit dem 8x8 brett angefangen und habe gesagt ich kann hier 8x8 = 64 1x1 Kästchen unterbringen und 8x7 Kästchen vom Typ 1x2. und generell (9-m)x(9-n) Kästchen vom Typ mxn. Letztendlich habe ich die dann nur alle aufaddiert.

Aber das was ich hier jetzt gerade geschrieben habe sollte dich nicht abschrecken weil du es nicht verstehst. es soll dich ermutigen genau wie ich dir einen weg zu suchen die anzahl an möglichkeiten die sich ergeben versuchen zu analysieren und zu zählen. letztendlich sollt ihr auch nicht unbedingt auf eine allgemeine Formel kommen sondern einfach nur auf die Anzahl und da ist letztendlich erstmal jeder weg erlaubt der dir einfällt.

Ok. Die Lösung vom Nachbarn abschreiben ist kein wünschenswerter weg :)