Berechnung beider Quadratwurzeln einer Komplexen zahl

Question

ich lerne gerade für meine Mathe Klausur die ich aus dem ersten Semester wiederholen muss.

Dabei scheitere ich an folgender aufgaben Stellung

Stellen Sie die Komplexe Zahl:

$$z:=\quad \frac { -9\quad +\quad 53\quad *\quad i\quad  }{ 1\quad +\quad 3\quad *\quad i\quad  } $$

in der Form z = x + y * i mit x,y ∈ ℝ dar.

Das habe ich verstanden und erledigt, Lösung wäre hier 15 + 8i.

Denn kommt aber die Zweite Aufgabe.

und bestimmen Sie die beiden Quadratwurzeln von z, und geben Sie sie ebenfalls in der Form u + v * i mit u,v ∈ ℝ.

An dieser scheitere ich vergeblich. Habe zwar die Lösung der Aufgabe, jedoch versteh ich nicht ein Meter von dem was da passiert.

Comments

Kennst du die Polardarstellung ( mit Winkel (Argument) und Betrag ) ?

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Ja, habe ich schonmal gelesen in meinem Buch, müsste ich mir nochmal genauer anschauen.

Answer 1

Ansatz    15 + 8i   =  ( a+bi)^2   = a^2 + 2abi - b^2

also  15 = a^2 - b^2     und     2ab = 8

                                                       b = 4/a

15 = a^2 - 16/a^2

15a^2 = a^4 - 16

0 = a^4 - 15a^2 - 16

gibt a^2 = 16 oder a^2 = -1

also a = 4 oder a=-4

und passend

b= 1          oder  b = - 1

also sind die wurzeln  4 + i    und  - 4 - i

Comments

ah ja danke, das sieht ungefähr so aus wie in der Lösung, jedoch um einiges schöner und erklärt sich beim lesen :)

Danke.