Numerische Berechnung von Quadratwurzeln

Question

Ersti hier. Ich habe keinen Schimmer wie ich folgende Aufgabe lösen muss. Woher kommt dieses a_n-1??? Was zum **** ist das? Für Aufgabe a) muss ich doch einfach nur die Gleichung umstellen oder nicht? Aber was mach ich mit diesem n-1? Aufgabe b) ergibt sich ja halbwegs aus a) und bei c) ist bei mir sowieso Hopfen und Malz verloren. Vielleicht kann mir jemand mal nen Tipp für die a) geben, ich bin nämlich vermutlich auf dem komplett falschen Dampfer.

LG

Answer 1

für n aus IN gilt ja   a_n =   1/2 * (  a_n-1 + c / a_n-1 )

also  a_n ≥ √c heißt dann

also    1/2 * (  a_n-1 + c / a_n-1 ) ≥ √c    bzw 

             (  a_n-1 + c / a_n-1 ) ≥ 2√c 

   und weil alles pos. ist kannst du quadrieren

    (  a_n-1 + c / a_n-1 )²   ≥    4c

binomi   gibt 


     a_n-1²   +2 c  +   ( c / a_n-1 )²   ≥    4c

a_n-1²     -2 c  +   ( c / a_n-1 )²   ≥    0 

  (  a_n-1   - c / a_n-1 )²   ≥   0    

Quadrate sind immer nicht negativ, also ist das immer wahr.

Da alles äquivalent umgeformt wurde, gilt also auch die erste

Ungleichung.

Comments

und    a_n+1 = 1/2 * (  a_n + c / a_n ) 

                        =  1/2 *   a_{n  -}  1/2 * c / a_n   

              =  1/2 *  a_n    * (  1 + c / a_n ²)     #

    und weil an ≤ √c ist,   ist  a_n ²  ≤ c 

also    c / a_n ²    ≤ 1   und damit   #  ≥    1/2 *  a_n    * (  1 + 1) 

=   a_n    .          q.e.d.