Kurvendiskusion von f(x) = (x^2+1)/(x^2-1). Uni erstes Semester

Question

ich breuchte hilfe bei der Aufgabe, würde mich auf jede Antwort freuen :)

Untersuchen Sie die Funktion $$f(x)\quad =\quad \frac { { x }^{ 2 }+1 }{ { x }^{ 2 }-1 } $$ auf Definitionslücken, Monotonie, Krümmung, Extremstellen und Verhalten an den Polen und ins Unendliche. Skizzieren Sie die Funktion zusätzlich im Intervall [-5,5]

Answer 1

> Definitionslücken

Nenner darf nicht Null werden. Löse also die Gleichung x² - 1 = 0 um die Definitionslücken zu finden.

> Monotonie

Bestimme die Nullstellen und Definitionslücken der Ableitung. Zwischen zwei solchen Stellen kann sich das Monotonieverhalten nicht ändern. Das heißt du darfst einen Wert zwischen zwei solchen Stellen in die Ableitung einsetzen um das Monotonieverhalten zu bestimmen.

> Krümmung

Bestimme die Nullstellen und Definitionslücken der zweiten Ableitung. Zwischen zwei solchen Stellen kann sich das Krümmungsverhalten nicht ändern. Das heißt du darfst einen Wert zwischen zwei solchen Stellen in die zweite Ableitung einsetzen um das Krümmungsverhalten zu bestimmen.

> Extremstellen

Prüfe an welchen Nullstellen der Ableitung die Funktion ihr Monotonieverhalten ändert.

Alternativ, prüfe an welchen Nullstellen der Ableitung die Funktion ihr Krümmungsverhalten beibehält.

> Verhalten an den Polen

Bestimme den Linksseiten und den rechtsseitigen Grenzwert für x gegen eine Polstelle.

> Verhalten ... ins Unendliche

Führe eine Polynomdivision durch. Ignoriere eventuellen Rest, den du bekommt. Bestimme das Verhalten ins Unendliche des Ergebnisses.