Konvergenz von Folgen Uni 1. Semester

Question

Uni Hallo die Aufgabe ist Konvergenz zu beweisen für

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Forme zunächst so um, dass keine unechten Brüche mehr auftreten:$$a_n=\frac{n^3+6n^2-n}{n^2+4n+2}-\frac{n^4+3n+2}{n^3+7n}=\left(n+2-\frac{11n+4}{n^2+4n+2}\right)-\left(n-\frac{7n^2-3n-2}{n^3+7n}\right)\rightarrow2.$$

Answer 1

Hi,

versuch doch mal den Bruch komplett mit n³ zu kürzen, dann dürfte dir was auffallen!

Mit der höchsten Potenz

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Ja, aber wir kommen trotzdem nicht auf das ergebnis. Das Ergebnis müsste 2 werden. Wir stehen gerade voll auf dem Schlauch.

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Der erste Bruch geht gegen unendlich, dass kann man gut sehen, da die höchste Potenz im Zähler ist. Etwas großes durch etwas kleines ist etwas großes.

Insgesamt ergibt sich, richtig erkannt 2

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richtig, deshalb kommen wir nicht auf das Ergebnis "2"

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Also wir haben die Funktion einmal zeichnen lassen und gesehen, dass sie gegen 2 konvergiert.

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Ja also der Trick ist:

Bringt alles auf einen Nenner.

Dann kommt sowas wie:

(2n⁵) + ... / (n⁵ + ...) raus

jetzt mit der höchsten Potenz kürzen, ergibt dann 2

Die schöne Fassung kommt gleich ;-)

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Danke wir versuchen es mal

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So in etwa:

$$\frac { { 2n }^{ 5 }+{ 4n }^{ 4 }+\quad ... }{ { n }^{ 5 }\quad +\quad ... }$$

$$\frac { \frac { { 2n }^{ 5 } }{ { n }^{ 5 } } +\frac { { 4n }^{ 4 } }{ { n }^{ 5 } } +\quad ... }{ \frac { { n }^{ 5 } }{ { n }^{ 5 } } \quad +\quad ... }$$

$$\frac { 2+0 }{ 1 }$$

--> 2

Bitte nicht wie ich, den Limes vergessen!

PS: welche Studienrichtung? rein aus Interesse

PPS: Das mit dem Zeichnen ist auch immer eine gute Idee!