Ist der Schnitt nℤ ∩ mℤ für beliebige m, n ∈ ℕ0 wieder eine Untergruppe?

Question

Jede Untergruppe von (ℤ, +) ist von der Form nℤ= {nz | z ∈ ℤ} für ein n ∈ ℕ₀. Ist der Schnitt nℤ ∩ mℤ für beliebige m, n ∈ ℕ₀ wieder eine Untergruppe? Wenn ja, welche?

Answer 1

Der Schnitt von zwei Untegruppen einer Gruppe ist wieder eine Untergruppe der Gruppe. Das gilt nicht nur, wenn die Gruppe ℤ ist, sondern für alle Gruppen.

Das Assoziativgesetz gilt in der Schnittmenge, weil es in der Gruppe gilt. Das neutrale Element ist in der Schnittmenge, weil es in beiden geschnittenen Untegruppen ist. Inverse Elemente gibt es aus gleichem Grund.

Answer 2

nℤ ∩ mℤ = (kgV(n, m))ℤ