Gruppentheorie: Beweisen, dass die Schnittmenge zweier Untergruppen wieder eine Untergruppe ist.

Question

Es sei (G,◦) eine Gruppe.

Sind (U1,◦) und (U2,◦) Untergruppen von (G,◦), so ist auch (U1 ∩U2,◦) eine Untergruppe von (G,◦).

Meine Ideen:

Es sind also U_1 und U_2 Gruppen, genauer Untergruppen von G, also sind alle Gruppenaxiome für sie erfüllt. Es ist (U1 ∩U2,◦) ⊂  U1 ⊂ G. Da jedes Element von U1 die Gruppenaxiome erfüllt, somit auch jedes aus (U1 ∩U2,◦).

Reicht das für einen Beweis? Oder habe ich das erst gezeigt/begründet?

Comments

Das ist kein Beweis. Es fehlt unter anderem der wichtige Punkt, dass \( u\circ v \in U_1 \cap U_2 \) für \(u, v \in U_1 \cap U_2 \). Ebenso wenig wie, dass das Inverse auch im Schnett liegt. Und zwischen "Beweis" und "gezeigt/begründet" ist kein wesentlicher Unterschied.

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Sei also \( u,v \in U_1 ∩ U_2 \). Das heisst: \( u \in U_1 ; v \in U_1 \) und \(u \in U_2 ; v \in U_2 \). Da für U1 und U2 die Gruppenaxiome erfüllt sind, sind auch die Insersen von u,v in sowohl U1, als auch U2 enthalten. Folglich auch in ihrem Schnitt. So weit richtig?

Answer 1

Hi,

Siehe Aufgabe 12 bei http://page.mi.fu-berlin.de/klarner/lina_blatt3_loesungen.pdf

Aufgabe 12

Es seien \( U_{1} \) und \( U_{2} \) Untergruppen der Gruppe \( (G, \cdot) . \) Man zeige:

(i) \( U_{1} \cap U_{2} \) ist Untergruppe von \( (G, \cdot) \).

(ii) Ist \( U_{1} \nsubseteq U_{2} \) und \( U_{2} \nsubseteq U_{1}, \) so ist \( U_{1} \cup U_{2} \) keine Untergruppe von \( (G, \cdot) \)

Hinweis: Kann \( a \cdot b \) in \( U_{1} \cup U_{2} \) liegen, falls \( a \in U_{1} \backslash U_{2} \) und \( b \in U_{2} \backslash U_{1} ? \)

Lösung

(i) läßt sich mit dem Untergruppenkriterium aus Aufgabe 11 schnell zeigen:

$$ \forall a, b \in U_{1} \cap U_{2}: \bigcap_{i=1,2}\left(a, b \in U_{i} \Rightarrow a b^{-1} \in U_{i}\right) \Rightarrow a b^{-1} \in U_{1} \cap U_{2} $$

\( \Rightarrow U_{1} \cap U_{2} \) erfüllt das Untergruppenkriterium

(ii) Die Vereinigung zweier teilweiser disjunkter Untergruppen ist "zu klein", um selbst Untergruppe zu sein. D.h. für \( a \in U_{1} \backslash U_{2} \) und \( b \in U_{2} \backslash U_{1} \) gilt \( a b \notin U_{1} \cup U_{2}, \) denn ansonsten gilt o.B.d.A. \( a b \in U_{1} \) und wegen \( a, a^{-1} \in U_{1} \) auch \( a^{-1} a b=b \in \) \( U_{1} \). Aber das wiederspricht der Wahl von \( b . \Rightarrow a b \notin U_{1} \cup U_{2} \Rightarrow U_{1} \cup U_{2} \) ist nicht abgeschlossen und damit keine Gruppe.

Grüße

Comments

Nein, ich suche Tipps, ich hatte mal den fehler gemacht ein Skript halb durch zuarbeiten, ohne die Beweise 100% nachzu vollziehen und einige selbst bewiesen zu haben... Das war blöd, ich bräuchte Tipps :-)

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Da kannst Du Dir Tipps rausziehen ;).

Wenn was unverständlich ist, kannste immernoch nachfragen (ob ichs beantworten kann ist eine andere Sache :D).

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Hm, ich habe Angst in Versuchung zu kommen die Lösung anzugucken sobald ich mir das Skript runterlade (ich muss jedes Skript um es zu öffnen leider runterladen). 

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Musst Du wissen. Ich tue was ich kann. Wenn Du Dir da zu vorsichtig bist, ist das Dein Bier.

Ist Dein Skript selbst etwa auch aus Berlin? Wenn nicht ists ja nur die eine Aufgabe und Du kommst nicht in Versuchung...

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Hmm, ich verstehe da die Notation mit dem Schnitt nicht (?).

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Schaust Du hier: wiki

;)

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\( \bigcap U:=\{x \mid \forall a \in U: x \in a\} \)

x ∈ a? Wie soll das gehen? Mengen werden immer mit einem Grossbuchstaben bezeichnet.

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Was damit gemeint ist, steht genau im Satz darüber. Das ist die zugehörige "Übersetzung".

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"Mengen werden immer mit einem Grossbuchstaben bezeichnet."
Wer behauptet denn sowas? Du kannst Mengen (und überhaupt alle Variablen in der Mathematik) bezeichnen, wie du willst. Ob nun Groß- oder Kleinbuchstaben oder sonst irgendwas, ist da völlig egal.
Vielleicht ist es üblich, dass man für Mengen Großbuchstaben benutzt, aber "immer" ist das jedenfalls nicht so.

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Ok, aber ich verstehe den Beweis irgendwie nicht, ist sehr kurz aufgeschrieben... Könnte mir das jemand etwas ausführlicher erklären? :)

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Was willste denn noch? Das ist nicht viel anders wie in Deinem obigen Kommentar. Nur, dass Du einfach Behauptungen aufstellst, die im Link noch gezeigt werden. Diese beziehen sich zwar teils auf Aufgabe 11 um zu zeigen, dass das Untergruppenkriterium erfüllt ist, mehr ist aber nicht dahinter. Und wenn Du noch mehr  Hintergrund willst, dann sei auf Aufgabe 11 verwiesen. Und wenn Du noch kleinschrittiger gehen willst, was meiner Meingung nach unnötig ist, dann kannst Du ja in deren Skript nachlesen.

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Ok, ich habe ihn verstanden, nach langem Überlegen.

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Freut mich :).

Selbst ist immer am besten. Die Zeit spielt dabei (meist :P) keine Rolle.