Funktionsgleichung bestimmen. An der Stelle x=6 schneidet es die x-Achse mit der Tangentensteigung -6.

Question

Ich muss von folgendem Text die Funktionsgleichung erstellen:

Das Schaubild einer ganzrationalen Funktion dritten Grades berührt die x-Achse im Ursprung. An der Stelle X=6 schneidet es die X-Achse mit der Tangentensteigung -6.

Wie gehe ich da am besten vor?

Answer 1

Hi,

eine Funktion dritten Grades allgemein hat die Form:

y = ax^3 + bx^2 + cx + d

Setze die gegebenen Bedingungen ein (bilde dazu auch die Ableitung(en) der allgm. Funktion)

f(0) = 0
f'(0) = 0
f(6) = 0
f'(6) = -6

und damit

d = 0

c = 0

216a + 36b + 6c + d = 0

108a + 12b + c = -6

a = -1/6 und b = 1

f(x) = -1/6*x^3 + x^2

Grüße

Answer 2

Mathematische Bedingungen Formulieren

f(0) = 0

f'(0) = 0

f(6) = 0

f'(6) = -6

Daraus die Gleichungen aufstellen

d = 0

c = 0

216a + 36b + 6c + d = 0

108a + 12b + c = -6

Jetzt das Gleichungssystem lösen und mit den Koeffizienten die Funktion aufschreiben

f(x) = -1/6·x^3 + x^2

Jetzt noch eine Kontrolle machen.

Answer 3

Das Schaubild einer ganzrationalen Funktion dritten Grades berührt die x-Achse im Ursprung. An der Stelle x=6 schneidet es die x-Achse mit der Tangentensteigung -6.

Wie gehe ich da am besten vor?

Die geschickte Wahl eines passenden Ansatzes ist der erste Schritt. Ich schlage einen Produktansatz vor:

$$ f(x) = a \cdot x^2 \cdot \left( x-6 \right) $$Die Ableitung nach der Produktregel wäre dann
$$ f'(x) = 2a \cdot x \cdot \left( x-6 \right) + a \cdot x^2 $$so dass über die angegebene Tangentensteigung der noch unbekannte Parametr \(a\) bestimmt werden kann:
$$ f'(6) = 2a \cdot 6 \cdot \left( 6-6 \right) + a \cdot 6^2 = 36a = -6$$Es folgt \(a=-\frac 16\) und die Funktionsgleichung lautet:
$$ f(x) = -\frac 16 \cdot x^2 \cdot \left( x-6 \right). $$Ein Vorteil dieses Ansatzes: Nur ein Parameter muss bestimmt werden, kein Gleichungssystem muss gelöst werden, sondern lediglich eine lineare Gleichung.