Eindeutigkeit von Potenzreihen, durch gliedweise Ableitung beweisen

Question

a) Zeigen sie: Wenn zwei Potenzreihen(beide von null bis unendlich) ∑a_nx^n und  ∑b_nx^n beide konvergent sind und für alle Werte x in einem offenen Intervall (-c,c) gleich sind, dann ist a_n=b_n für alle n.

Hinweis: Es sei  ∑a_nx^n= ∑b_nx^n. Leiten sie gliedweise ab und zeigen sie so, dass a_n und b_n beide gleich f ⁿ (0)/n! sind.

Bew.: Es sei  f(x)=∑a_nx^n= ∑b_nx^n, dann ist:

$$f'(x)= a_1+2a_3+3a_3x^2+...+na_nx^{n-1}= b_1+2b_3+3b_3x^2+...+nb_nx^{n-1}$$

Ich verstehe nicht was dieser Term aussagen soll f ⁿ (0)/n! , die n-te Ableitung mit x=0 durch n! soll gleich a_n und b_n sein. Wie kommen sie ausgerechnet auf diesen Term?

Und wie muss ich den Beweis fortsetzen?

Answer 1

Beispiel. Berechne was man bekommt wenn man die dritte Ableitung von 7x³ durch 3! dividiert.

a_n = f ⁿ (0)/n! ist eine Verallgemeinerung dieses Beispiels.

Comments

es ergibt 7 und ich habe es auch für weitere Terme probiert, es ergibt immer den Koeffizienten...Wenn x=0 ist, fallen doch eig.  alle Terme abgesehen von a1 und b1 weg. Wie kommen sie nun auf a_n = f ⁿ (0)/n!?

Ich komme leider nicht weiter und irgendwie sehe ich den Lösungsweg einfach nicht, wäre wirklich sehr nett, wenn du mir die zu führende Argumentation erklären könntest :)

Fehler in der von mir oben angegebenen Ableitung, verbessert:

$$ f'(x)= a_1+2a_2x+3a_3x^2+...+na_nx^{n-1}= b_1+2b_2x+3b_3x^2+...+nb_nx^{n-1} $$

---

> Wenn x=0 ist, fallen doch eig.  alle Terme abgesehen von a1 und b1 weg

Das ist richtig. Und deshalb ist f'(0)/1! = a₁.

Leite eine ganzrationale Funktion dritten Grades zwei mal ab und Prüfe ob  f''(0)/2! = a₂ ist.

Leite eine ganzrationale Funktion vierten Grades drei mal ab und Prüfe ob  f'''(0)/3! = a₃ ist.

Leite eine ganzrationale Funktion fünften Grades vier mal ab und Prüfe ob  f''''(0)/4! = a₄ ist.