max. Definitionsbereich ln

Question

gegeben ist folgende Funktion: f(x)=ln(x+3)-ln(x+1).

Wieso gilt für den maximalen Definitionsbereich D_max: D_max=ℝ_>-1?

und wie kann ich den Wertebereich bestimmen, die durch f entstehen?

Answer 1

Der natürliche Logarithmus ist nur für Werte \( \ge 0 \) definiert. D.h. es mus gelten \( x+3 \ge 0 \) und \( x+1 \ge 0 \). D.h. es muss gelten \( x \ge -1 \).

Der Wertebereich des Logarithmus ist ganz \( \mathbb{R} \)

Comments

Der Wertebereich des Logarithmus ist ganz R,

aber der von dieser Fkt. nicht !R

R

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ja das stimmt, habe nicht richtig zu Ende überlegt.

Answer 2

ln ist nur definiert für positive Zahlen

Damit sowohl x+3 als auch x+1 positiv sind, muss x>-1 sein.

Du kannst auch zusammenfassen zu ln ( (x+3) / ( x+1) )

Für alle x>-1 nimmt (x+3) / ( x+1)

das alle positiven Werte an, die größer als 1 sind und davon

jeweils der ln gibt Werte von 0 (ausschließlich ) bis unendlich,

also Wertebereich  ] 0 ; +∞ [

Answer 3

weil \( \log(x) \) nur für \( x > 0 \) definiert ist, muss \( x + 3 > 0 \) und \( x + 1 > 0 \) gelten. Diese beiden Ungleichungen sind nur für \( x > -1 \) erfüllt, denn die zweite Ungleichung impliziert die erste.

Wählt man aber die Schreibweise

\(\log(x+3) - \log(x+1) = \log\left(\frac{x+3}{x+1}\right) \),

so ist der maximale Definitionsbereich durch \( D_{\text{max}} = \mathbb{R} \setminus [-3, -1] \) gegeben, da \( \frac{x+3}{x+1} > 0 \) auch für \( x < -3 \) gilt.

Siehe den Plot: https://www.google.de/search?client=ubuntu&channel=fs&q=log(x%2B3)+-+log(x+%2B+1)&ie=utf-8&oe=utf-8&gfe_rd=cr&ei=sSWOV8nFGoTGZOicl9gE#channel=fs&q=log((x%2B3)%2F(x+%2B+1)).

Mister

Comments

Aber die Umformung gilt für x<-3 nicht.