An den Stellen mit tan x = 0 kann sich das Vorzeichen von f(x) ändern (weil dort dann auch f(x) = 0 ist).
Wenn eine differenzierbare Funktion g an einer Stelle x0 dass Vorzeichen ändert, dann ist h(x) = |g(x)| nur dann bei x0 differenzierbar, wenn g dort eine horizontale Tangente hat.
Nebenbei etwas zur Notation: Es ist D(f) = ℝ\{π/2 + kπ ∈ℝ | k∈ℝ}. Das "π/2 + kπ ∈ℝ" darfst du verkürzen zu "π/2 + kπ", weil aus dem Zusammenhang klar ist, dass π/2 + kπ nicht aus einer anderen Menge als aus den reellen Zahlen ausgesondert werden kann. Das k∈ℝ solltest du nicht weglassen, da erst dadurch ausgedrückt wird, das jede reelle Zahl der Form π/2 + kπ zur Menge gehört. Die Mengenklammern darfst du auf keinen Fall weglassen. Nimmt man es mit den Formalien wirklich sehr streng, dann heißt das natürlich D(f) = ℝ\{r ∈ℝ | ∃ k∈ℝ r = π/2 + kπ}.
