Φ∗ ◦ Φ und Φ ◦ Φ∗ haben dieselben Eigenwerte

Question

Sei Φ ein Automorphismus eines n-dimensionalen euklidischen Vektorraums V, und Φ∗ sei die Adjungierte zu Φ. Zeigen Sie:

a) Die beiden linearen Abbildungen Φ∗ ◦ Φ und Φ ◦ Φ∗ sind selbstadjungiert und haben nur positive Eigenwerte.

b) Φ∗ ◦ Φ und Φ ◦ Φ∗ haben dieselben Eigenwerte

Die a) konnte lösen aber die bekomm ich nicht hin.

Answer 1

Hi,

sei \( x \) ein EW von \(  \Phi^\star \Phi \) zum EW \(  \lambda \) dann gilt \( \Phi^\star \Phi x = \lambda x \) \( \Rightarrow  \) \(  \Phi \Phi^\star \Phi x = \lambda \Phi x \)

Mit \( y = \Phi x \) \( \Rightarrow \) \( \Phi \Phi^\star y = \lambda y  \), also ist \( \lambda \) ein EW von \( \Phi \Phi^\star  \)

Das gleiche geht auch mit \(  \Phi \Phi^\star  \) und damit ist alles bewiesen.