Kann man folgende Gleichung nach x auflösen? A = - ln(x-B)/x

Question

ich stehe vor einem kleinem Problem. Ich habe folgende Gleichung:

$$A = -\frac { \ln \left( x-B \right)   }{ x } $$

wobei A und B unabhängig von x und bekannt sind.

Interessiert bin ich aber eigentlich nur an x. Gibt es eine Möglichkeit, diese Gleichung nach x umzustellen, und wenn ja, wie mache ich das?

Ich würde mich über Hilfe oder alternativ gerne auch verweisende Links auf entsprechende Rechenregeln freuen.

Ein schönes Wochenende noch allerseits!

Answer 1

diese Gleichung kannst du (für A≠0) nicht explizit nach x auflösen. Wenn für A und B Zahlen eingesetzt sind, kannst du aber die Lösungen der Gleichung - mit einem normalen Taschenrechner - ggf. als Nullstellen der Funktion  f(x) = A + ln(x-B) / x mit einem numerischen Näherungsverfahren mit gewünschter Genauigkeit bestimmen., z.B.

Newtonverfahren:

Ausgehend von einem (möglichst guten) Startwert, den man z.B zwischen zwei x-Werten findet, deren Funktionswerte verschiedenes Vorzeichen haben, findet man immer bessere Werte mit der Formel

x_neu =  x_alt - f(x_alt) / f '(x_alt)

Infos dazu findest du hier

(Leider "konvergiert" das Verfahren nicht immer, vgl. unten)

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Beispiel:   A = - 0,1  ;  B = 2

f(x) = - 0,1 + LN(x - 2) / x  = 0

f '(x) = ((x - 2)·LN(x - 2) - x) / (x²·(2 - x))

x	f(x)	f '(x)
3	-0,1	0,333333333
3,3	-0,020495677	0,209008014
3,398061682	-0,001388852	0,18147548
3,405714791	-7,50426E-06	0,179518662
3,405756594	-2,2193E-10	0,179508044
3,405756595	0	0,179508044

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Wenn du z.B.  A=1 und B=2 nimmst, liegt die Lösung  x = 2.120028235  (Rechner :-)) zu nah am Rand x=2 des Definitionsbereichs und das Verfahren konvergiert nicht.

Auch dir ein schönes Wochenende!

Gruß Wolfgang

Answer 2

es handelt sich um eine transzendente Gleichung, die nicht mithilfe elementarer Funktionen nach x aufgelöst werden kann. Im Spezialfall A=0 kann die Lösung analytisch bestimmt werden.