DGL. Potenzreihenansatz mit Cauchyprodukt. y' = x - y^2, y(0)=0.

Question

Ich soll sie dgl oben mit potenzreihenansatz lösen aber mein Ergebnis scheint nach der Probe falsch zu sein. Ich glaube es könnte daran liegen das ich Vielleicht das cauchy Produkt bei y^2 falsch angewendet habe aber eigentlich schien mir das so richtig.

Könnte mir jemand meinen Fehler aufzeigen ?

Danke:)

Answer 1

Hi,
ich sehe keinen Fehler, aber Du must weiterrechnen. Für \( k = 4 \) eribt sich z.B. \( 5 a_5 + a_2^2 = 0 \), also \( a_5 = -\frac{1}{20} \).
Der nächste Term ungleich Null wäre bei \( n = 7 \) und es ergibt sich \( a_8 = \frac{1}{160} \). Dann der nächste bei \( n = 10 \) usw.

Eine Systematik habe ich nicht erkannt. Laut Wolfram hat es aber vielleicht was mit den Besselfunktionen zu tun.
Die Konvergenz ist auch sehr langsam, wie man an dem Bild sieht. Die angenäherte Lösung in blau lautet

$$  p(x) =  \frac{1}{2}x^2 -\frac{1}{20}x^5 + \frac{1}{160}x^8 -  \frac{7}{8800}x^{11} $$ Der rote Graph ist die korrekte Lösung, numerisch ermittelt.

Comments

Hi,

ich habe das mal simuliert und komme darauf, das der Konvergenzradius \( \le 2 \) ist. D.h. die Potenzreihe entspricht der Lösung nur in dem Intervall \( -2 < x < 2 \)