Integralberechnungen auflösen

Question

Könnt Ihr mir bitte helfen die Integrale zu berechnen. Ich komme gar nicht mehr weiter.

Vielen Dank

1)

t

INTEGRAL   (t²+2t+1) dt

0                 

2)

t

INTEGRAL    t² + 2t +1 dt

0                  t+1

3)

t

INTEGRAL    t² + 1 dt

1                  t²

Answer 1

Anmerkung. Es ist nicht sonderlich sinnvoll die Grenze und die Integrationsvariable beide mit t zu bezeichnen. Ich nenne die obere Grenze T, damit du besser siehst, was passiert.

1)

T

INTEGRAL   (t²+2t+1) dt

0    

= 1/3 t^3 + t^2 + t  |_(0)^T     

= 1/3 T^3 + T^2 + T - (1/3 0^3 + 0^2 + 0)          

= 1/3 T^3 + T^2 + T - 0

= 1/3 T^3 + T^2 + T 

2)

T

INTEGRAL    t² + 2t +1 dt               | Binom erkennen

0                  t+1

T

= INTEGRAL   (t+1)^2 dt           | kürzen

0                  t+1

T

=INTEGRAL   t+1 dt

0   

= 1/2 t^2 + t |_(0)^T

= 1/2 T^2 + T - (0)

= 1/2 T^2 + T               

3)

T

INTEGRAL    t² + 1 dt

1                  t²

Comments

3)

T

INTEGRAL    t² + 1 dt                 | Summanden trennen

1                  t²

T

= INTEGRAL  1 + 1/t^2  dt          | Potenzgesetze

1      

T

= INTEGRAL  1 + t^{-2}  dt      

1      

= t - t^{-1}   |_(1)^T

= t - 1/t  |_(1)^T

=  T - 1/ T - (1 - 1/1)

= T - 1/T 

Answer 2

Hi,

Grenze und zu integrierende Variable soll das gleiche sein? Habs mal der Übersicht wegen abgeändert.

a) \(\int_0^a t^2+2t+1 \,dt = \left[\frac13t^3 + t^2 + t\right]_0^a = \frac13a^3 + a^2 + a\)

b) \(\int_0^a \frac{t^2+2t+1}{t+1} dt = \int\frac{(t+1)^2}{t+1} = \int t+1 =  \left[\frac12 t^2 + t\right] = \frac12 a^2 + a\)

c) \(\int_1^a \frac{t^2+1}{t^2} dt = \int 1 + \frac{1}{t^2} = \left[t  - \frac{1}{t} \right] = a - \frac{1}{a} \)

Grüße