Question

Nullstelle von x^7-2x^5+4x^3-3x berechnen

Wie gehe ich vor?

Answer 1

Eine Nullstelle ist schon mal x1 = 0, denn

 x⁷-2x⁵+4x³-3x = x(x^6 - 2x^4 + 4x^2 - 3)

Wenn du weitere Nullstellen suchst, teste alle Teiler von 3, also ±1, ±2 und ±3.

Willst du alle: Mach nach jeder gefundenen Nullstelle der Klammer eine Polynomdivision. Irgendwann kannst du vielleicht auch x^2 = z substituieren. 

Kontrolliere damit: https://www.wolframalpha.com/input/?i=(x%5E6+-+2x%5E4+%2B+4x%5E2+-+3)

Komplexe Nullstellen musst du nur angeben, wenn ihr schon komplexe Zahlen behandelt habt. Wenn nicht, schreibst du, warum du keine reellen Zahlen bekommen kannst. (Wurzeln aus neg. Zahlen ex. dann nicht) .

x⁶ - 2x⁴ + 4x² - 3 = 0

z^3 - 2z^2 + 4z - 3 = 0

z = 1 ?   1 - 2 + 4 - 3 = 0   stimmt. 

(z^3 - 2z^2 + 4z - 3)/(z-1) = z^2 - z + 3 

Diskriminante 

D =b^2 - 4ac =  1^2 - 4*1*3 = 1 -12 = -11 < 0.

Keine weiteren reellen Lösungen für z. 

Also nur z=1 anschauen.

Rücksubstitution

x^2 = 1.

x2 = 1. 

x3 = - 1. 

Comments

Du hast aus einer 4 eine 2 gemacht...

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Danke für den Hinweis. Ist korrigiert.

Answer 2

Klammere x aus. Dann substituieren: x^2=z

z^3-2z^2+4z-3=0

Erste Nullstelle raten, Polynomdivision durchführen

Answer 3

$$x^7-2x^5+4x^3-3x=0 \Leftrightarrow x(x^6-2x^4+2x^2-3)=0 \Leftrightarrow x=0 \text{ oder } \\x^6-2x^4+2x^2-3=0$$

Kannst du die Wurzeln von x^6-2x^4+2x^2-3=0 finden oder brauchst du Hilfe?