Funktion Nullstellen Extrema Wendepunkte Integral. f(x) = 1/2·x·e^{- x^2}

Question

Gegeben sie eine Funktion:

                  

                      -x²

 f(x) = x * e     ____

                      2

Berechnen Sie

a) die Nullstellen

b) die Extrema (und deren Art)

c) die Wendepunkte dieser Funktion

d) das Integralzwischen 0 und 2 über diese Funktion

Ich komme hier nicht weiter und freue mich über jegliche Antworten.

Vielen Dank schonmal!!

Comments

Soll das e^{-x²}/2 heißen?

Answer 1

 

  Zu a)  Die e-Funktion hat bekanntlich keine Nullstellen; verbleibt x = 0

    Was nicht eigens erwähnt ist, worum du dich aber stets kümmern musst: Symmetrie. Deine Funktion hat ungerade Symmetrie; aha. Es reicht, wenn wir uns auf x > 0 beschränken.

   Jetzt die Asymptotik; Diktat für das Regelheft

     " Die e-Funktion unterdrückt jedes Polynom. "

       Damit geht f ( x ) ===> 0 für x ===> ( °° )

   Halt; Ableiten ist noch lange nicht. Ich werde nicht müde zu predigen: Steckt den Slalom ab aus Nullstellen, ( eventuell ) Polstellen und Asymptotik. Denn bereits jetzt können wir ja schon wissen,wo Extrema und WP zu erwarten sind. Du findest unschwer die Abschätzung

       0  <  x  (  max  )  <  x  (  w  )                       (  1  )

    b)      Die erste Ableitung aus Produkt-und Kettenregel.

       f  '  (  x  )  =  exp  (  ...  )   -  x  ²  exp  (  ...  )  =  0         (  2a  )

           1  -  x  ²  =  0  ===>  x  (  max  ) =  1     (  2b  )

    c)   Wir wiederholen diese Prozedur in ( 2a )

         f  "  (  x  )  =   -  2  x  exp  (  ...  )  -  x  (  1  -  x  ²  )  exp  (  ...  )  =  0     (  3a  )

   Und siehe da - wir haben etwas übersehen. Die Nullstelle von ( 3a ) bei x = 0 entspricht tot sicher einem WP , weil der Graf ja ungerade Symmetrie besitzt.

       3  -  x  ²  =  0  ===>  x  (  w  )  =  sqr  (  3  )

Answer 2

zu d)

z= -x^2/2

dz/dx=  -x

dx=dz/(-x)

------------>eingesetzt:

= -∫ e^z dz

= - e^z +C

= -  e^ (-x^2)/2 +C

die Grenzen eingesetzt:

= 1-1/e^2

≈ 0.86

zu a)

Satz vom Nullprodukt:

x=0 , der 2.Term  (e- Term) kann nicht 0 werden.

Answer 3

Lautet die Funktion

f(x) = 1/2·x·e^{- x^2}

f'(x) = 1/2·e^{- x^2}·(1 - 2·x^2)

f''(x) = x·e^{- x^2}·(2·x^2 - 3)

Man beachte die Punktsymmetrie bei der Untersuchung

a) die Nullstellen

Satz vom Nullprodukt

x = 0

b) die Extrema (und deren Art)

f'(x) = 0

1 - 2·x^2 = 0 --> x = ± √2/2 = ± 0.7071

f''(√2/2) < 0 --> TP

f(√2/2) = √2·e^{- 1/2}/4 = 0.2144 --> TP(0.7071 | 0.2144) ; HP(- 0.7071 | - 0.2144)

c) die Wendepunkte dieser Funktion

f''(x) = 0

x = 0 --> WP(0 | 0)

2·x^2 - 3 = 0 --> x = ± √6/2 = x = ± 1.225

f(√6/2) = √6·e^{- 3/2}/4 = 0.1366 --> WP(1.225 | 0.1366) ; WP(- 1.225 | - 0.1366)

d) das Integralzwischen 0 und 2 über diese Funktion

F(x) = - e^{- x^2}/4

F(2) - F(0) = 1/4 - e^{-4}/4 = 0.2454

Comments

> f''(x) = 0

   x = 0 --> WP(0 | 0)

  weil f "(x) bei x = 0 das Vorzeichen wechselt

---

Mal etwas zum Überlegen:

Wenn eine Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung ist und der Ursprung ein Punkt der Funktion ist, muss dann die Funktion im Ursprung einen Wendepunkt haben? Gibt es Ausnahmen? Wenn ja welche?