Ableiten arctan (x) hilfe

Question

ich versuche  arctan (x) abzuleiten ich komme allerdings nicht weiter: 

1/tan (x) = 1/cos^2 (x) = 1/ 1 + tan^2 x

Danke:)

Comments

EDIT: Achtung deine Gleichungskette 

" 1/tan (x) = 1/cos² (x) = 1/ 1 + tan² x "

kann so nicht stimmen. 

Answer 1

x=tan(arctan(x)) beide Seiten ableiten

(wichtig: d/dx tan(x)=1/cos^2(x)=1+tan^2(x)

1=arctan(x)'*(1+tan^2(arctan(x))

1=arctan'(x)*(1+x^2)

arctan(x)'=1/(1+x^2)

Du müsstest bloß noch mithilfe entsprechender Sätze begründen, weshalb diese Ableitung auch überhaupt existiert.

Comments

Wie kommt man drauf dass x=tan(arctan(x))

Man will doch arctan(x) ableiten

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Das ist ein Trick zur Berechnung der Ableitung der Umkehrfunktion.

arctan(x) ist die Umkehrfunktion von tan(x). Die Verkettung einer Funktion mit ihrer Umkehrfunktion gibt wieder das Argument.

Deshalb ist arctan(tan(x))=x

Das ist vom Prinzip dass selbe wie z.B (√x)^2=x , weil √x die Umkehrfunktion von x^2 ist.

Und weil bei der Ableitung mithilfe der Kettenregel die Ableitung von arctan(x) als Faktor entsteht, kann man schön danach auflösen.

Grundlage:

https://de.wikipedia.org/wiki/Umkehrregel

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samira: 

Wie kommt man drauf dass x=tan(arctan(x)) ? arctan ist die Umkehrfunktion von tan .

Man will doch arctan(x) ableiten. 

Das wird in den verlinkten Videos in der andern Antwort erklärt. 

Vgl. Rechnung oben und in den Videos. 

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!! Warum ist es aber gleich x und nicht f (x)

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weil x das Argument ist, nicht f(x) ;)

Answer 2

Hallo Samira,

[ arctan(x) ] '  =  1 / (1+x²)

Herleitung im  Video

Gruß Wolfgang