Funktionsgleichung einer rationalen Funktion aufstellen

Question

habe hier ein Beispiel bei dem ich nicht weiterkomme hoffe jemand kann mir helfen. Außerdem wüßte ich gerne was anders gemacht werden müsse wenn was anderes gegeben ist anstatt P und den Tiefpunkt. Meine Lösungsversuche sind weiter unten.

1) Der Graph einer rationalen Funktion 4. Grades s(x) ist symmetrisch zur y-Achse. Die Funktion ist damit eine gerade Funktion. Der Tiefpunkt ist T(2/0) und die Funktion enthält den Punkt P(4/36).

a) Modellieren Sie ein Verfahren zur Ermittlung der zugehörigen Funktion. Geben Sie die Funktionsgleichung an.

b) Errechnen Sie die Steigung der Funktion im Punkt P und den  dazugehörigen Winkel.

c) Berechnen Sie, welche y Koordinate ein Punkt M haben muss, der sich   horizontal gemessen 1 m rechts vom Tiefpunkt T entfernt befindet, 

d)Geben Sie an, in welchen Punkten die Wendestellen der Funktion s(x) zu finden sind.

Lösungsversuch:a)  f ( x ) = a*x⁴ + b*x² + cf ´( x ) = 4*a*x³ + 2*b*x
f ´´( x ) = 12*a*x² + 2*b
36 = a * 4⁴+ b*4² + c     I)Ab hier weiß ich leider nicht weiter weiß nicht in welche fkt ich T einsetzen soll und ob noch weitere gleichungen folgen. b,c,d sind mir auch nicht ganz klar, deshalb würde euch bitten mir zu helfen mit eventuell eine kleine Erklärung damit ich meine anderen Beispiele auch schaffe.

Comments

Da steht "einer rationalen Funktion 4. Grades s(x)". Die Funktion hat also schon einen Namen (nämlich "s"). Bitte verwende diesen  Namen auch, und schreibe nicht einfach "f ( x ) = a*x⁴ + b*x² + c". Richtig wäre "s ( x ) = a*x⁴ + b*x² + c".

Answer 1

> Der Tiefpunkt ist T(2/0)

Am Tiefpunkt ist die Steigung generell 0, also s'(2) = 0

Der Tiefpunkt hat in diesem Fall auch noch den Funktionswert 0. Also s(2) = 0.

Zusammen mit der schon von dir aufgestellten Gleichung 36 = a * 4⁴+ b*4² + c sind das genau die drei Gleichungen, die du bei drei Unbekannten benötigst.

Comments

aber wie kommt man auf sowas das würde ich gerne wissen. Wieso ausgerechnet die erste ableitung und 2 = 0 setzen? und woher weiß ich wie viele gleichungen ich brauche?

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könnten Sie mir auch kurz erklären wie die punkte b,c,d gehen.

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> aber wie kommt man auf sowas das würde ich gerne wissen.

Die Ableitung gibt die Steigung an.  Das muss man auswendig gelernt haben.

Die Steigung an einem Tiefpunkt ist 0. Deshalb setzt man f'(x) gleich Null um Teifpunkte zu finden.

Außerdem muss man noch wissen wie Funktionen funktionieren. 

> wie die punkte b,c,d gehen

Ein d gibt es nicht. Die Koeffizienten a, b, c bekommst du indem du das Gleichungssystem löst.

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mit b,c,d meinte ich nicht die Koeffizienten sondern die Unterpunkte in meiner Aufgabe wäre nett wenn du mir kurz erklären könntest was ich da machen müsste.

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Bei b) berechnest du f ' (4)  und das ist die Steigung in P und

damit auch der Tangens vom Steigungswinkel, also Winkel

= arctan( f ' (4)).

c) Da ist f ( 3) gesucht.

d) 2. Ableitung = 0 setzen.

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danke jetzt verstehe ich es aber noch eine letzte frage bei den punkten b, c und d wird die Funktion aus den 3 Koeffezienten benutzt oder also das Endergebnis von a) ?

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und ich würde noch gerne wissen ob das Ergebnis stimmt a= 1/4 b =-2  c=4 

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myworldy: Kontrolliere das Ergebnis, indem du die Funktionsgleichung und die gegebenen Punkte in einen Plotter eingibst. Z.B. hier https://www.matheretter.de/rechner/plotlux 

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Ja das ist richtig.

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Gut danke was ich wissen will ist welche Funktion ich für die unterpunkte b,c,d verwenden muss das Ergebnis von a oder also die Endfunktion mit den Koeffizienten

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Ja genau. In a hast du die Funktion bestimmt (mit hilfe der koeffizienten) und benutzt diese jetzt in den restlichen Aufgaben. 

Answer 2

     Mit ein bisschen Köpfchen geht das doch mit einem Schmuddeltrick. Das Minimum liegt bei x3;4 = 2 . Aus Symmetriegründen hast du dann aber auch ein Minimum x1;2 = ( - 2 )

   Dahinter steckt folgende Überlegung: Ein Extremum ist immer eine Nullstelle von gerader, also von zweiter oder vierter Ordnung. Hier passt nur zweite, weil sonst die Verteilung auf die beiden symmetrischen Minima nicht aufgeht.

       f  (  x  )  =  k  (  x  +  2  )  ²  (  x  -  2  )  ²  =  k  (  x  ^ 4  -  8  x  ²  +  16  )