Diifferentialgleichungen

Question

habe hier einige Differentialgleichung die ich irgendwie schaffe weil die so komisch aufgebaut sind. Ich hoffe ihr könnt mir helfen.

1)x*y‘-2x =0                      Lösung: (C / x) + x

Lösungsversuch:
x*(dy / dx) -2x= -y
1/y*dy=-2x*(1/x)*dx
ln(y)=-2x*ln(x)+C   //Ab da komme ich nicht weiter egal was ich mache ich komme nicht auf die Lösung.

2)
2xy‘+y=10x²        Lösung: 2x²+(C/√x)

Hier hätte ich nur gerne gewusst welche Formel man benötigt um die Partikuläre Lösung zu lösen habe nirgendwo eine Formel gefunden für dieses Schema à s(x)=10x²

3)
2xy‘+y-6x=0        y(2) = 5         Lösung: 2x+√(2/x)
Das Beispiel ist fast so wie das erste habe genau dieselben Schwierigkeiten

4)
y‘+2xy=2x*e^-x²              Lösung (1+x²)*e^-x²

Hier geht es auch um die Partikuläre Lösung. Hier komme ich einfach nicht auf die richtige Lösung.

 

Answer 1

Hi,

1.

die erste DGL hast Du falsch gestellt?

Eher x*y‘+y-2x =0

Nutze die Variation der Konstanten.

2.

Du hast den homogenen Teil gelöst? Dann folgst Du dem "Ansatz der rechten Seite". Dieser ist y = ax^2 + bx + c

Du nimmst also das allgemeine Polynom mit dem gegebenen Grad. 

Ansonsten funktioniert es hier auch mit Variation der Konstanten

3.

Nutze die Variation der Konstanten.


4.
Auch hier würde ich das Verfahren über die Variation der Konstanten wählen.


Für das Verfahren schau doch mal bei Dir im Skript oder auch hier:
http://massmatics.de/merkzettel/index.php#!507:Variation_der_Konstanten

Wenn Du dann weiterhin hängen bleibst, hake gerne nach, aber eigentlich ist es nur in die Formel einsetzen :).

Grüße

Answer 2

mein Lösungsversuch:

x*y'  -2x= -y

x*y '  + y * 1 = 2x

Produktregel rückwärts

( x*y ) '  =  2x

x*y  = x^2 + c    | : x

y =  x  +   c/x

Answer 3

diese 4 Aufgaben  sind alle vom gleichen "Strickmuster" (Variation der Konstanten)

Bei Aufgabe 3 must Du noch in die Lösung die AWB einsetzen

Aufgabe 1 )

 x* y' -2x=-y

 x* y' +y = 2x

1. Lösung der hom. Gleichung durch Trennung der Variablen

 x* y' +y  =0

x dy/dx =-y

usw.

y_h= C/x

y_p= C(x)/x

yp '= C '(x) *1/x - C(x) /x^2

einsetzen in die Aufgabe:

--->

C '(x)= 2x

C(x) = x^2

y_p = x

y=y_h +y_p

y= C/x +x

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ODER mit der Lösungsformel :