Arctan(x), mehrere Lösungen

Question

es ist Arctan(1) - Arctan(0) = π/4. Allerdings kann doch auch was anderes rauskommen oder? Zum Bsp ist Arctan(1) ja nicht nur π/4 sondern auch 5π/4 usw.. Das selbe für Arctan(0). Warum ist dann zum Bsp.: 5π/4 - 2π = -3π/4 falsch als Lösung?

Answer 1

tan: ℝ \ { x | x = π/2 + k·π } → ℝ ist eine periodische Funktion, bei der die Funktionswerte, für die die die x-Werte um π unterscheiden, übereinstimmen. Sie ist also nicht injektiv und hat deshalb keine Umkehrfunktion.

Deshalb hat man den Definitionsbereich auf das Monotonieintervall  ] -π/2 ; π/2 [  eingeschränkt, in dem tan streng monoton steigend ist.

tan_e :  ] -π/2 ; π/2 [ → ℝ ; x ↦ tan(x).  Deren Umkehrfunktion heißt Arkustangens  (arctan)

arctan: ℝ →   ] -π/2 ; π/2 [ , deshalb sind die Werte von arctan eindeutig. Sonst wäre es ja auch gar keine Funktion.

Gruß Wolfgang

Answer 2

Eine Funktion hat immer nur einen definierten Funktionswert.

arctan(1) ist also immer pi/4

Das ist genauso wie

√4 immer nur 2 ist und nicht eventuell -2. 

Nur beim Lösen quadratischer Gleichungen kommt dann noch -2 dazu.