Formel für bedingte Wahrscheinlichkeit: P(A I B) = (P(B I A) * P(A)) / P(B)

Question

Hallo:)

Meine frage bezieht sich auf die Formel zur bedingten Wahrscheinlichkeit: P(A I B)=(P(B I A) * P(A)) / P(B)
Ich hab folgende frage:

"Erläutern sie mithilfe eines Baumdiagramms die formel und ihre einzelnen Bestandteile"

Problem ich dachte man schreibt die Formel so:

P(A / B)=( P(A\B) *P(A)) / P(B)

--> Achten auf die "Striche / \ "

Weil die formel ist ja die bedingung dass A/B also A unter der Bedingung B vorkommt.

Und dann besteht die Formel ja daraus, dass man die günstigen Möglichkeiten durch alle Möglichkeiten =P(B) teilt.

--> Die günstigen möglichkeiten sind meines Erachtens nach doch P(A\B) =A OHNE B * P(B) diese multiplikation stellt ja den einen günstigen Weg auf dem Baumdiagramm dar;)

Meine problem ist jetzt eben wirklich mit den strichen weil ich es in meiner Vorlesung so wie ganz am anfang definiert P(A I B)=(P(B I A) * P(A)) / P(B) vorfinde es mir aber nicht klar ist ob meine schreibweise auch richzug ist?

Answer 1

In der Formel kommt kein ohne vor. Ich glaube ich hatte da auch schon mal in einer Frage zu hingewiesen.

Die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit lautet

P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)

A | B ist dabei A unter der Bedingung B und nicht A geteilt durch B und auch nicht A ohne B.

P(A ∩ B) / P(B) ist dabei die Wahrscheinlichkeit das A und B auftritt durch die Wahrscheinlichkeit das B auftritt.

Nun kann man aber auch P(A ∩ B) mit dem Multiplikationssatz wie folgt schreiben

P(A ∩ B) = P(A) * P(B | A) oder P(A ∩ B) = P(B) * P(A | B)

D.h. für die Bedingte Wahrscheinlichkeit kann ich dann auch durch einsetzen schreiben

P(A | B) = P(B | A) * P(A) / P(B)

Achtung: Ein \ "ohne" kommt hier in der Formel nirgends drin vor. Die wichtigen Formeln habe ich mal markiert.

Deine Schreibweise ist also nicht richtig. Bitte verwende die Formel nur exakt so wie ihr sie definiert habt.

Comments

danke für die schnelle Antwort :)

ich dachte eben nur, dass bei der Formel

P(A | B) = P(B | A) * P(A) / P(B)

die Wahrscheinlichkeit P(B I A) B ohne A heißt weil man ja nur den 2ten Teil des günstigen Weges multipliziert

heißt dann P(B I A) auch B unter der Bedingung A?

 

und noch was: die bedingte Wahrscheinlichkeit ist ja die Formel von Bayes?

---

Ich versuche das nochmals im Baumdiagramm aufzustellen.

---

Was die formel im baumdiagramm ist verstehe ich es geht mir nur darum was genau P(B I A) heißt weil das ja nur für den unteren weg steht..

---

P(B | A) heißt Die Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung von A und nicht B ohne A.

Der Satz von Bayes ist die etwas aufgeblasene Form der Formel.

Allgemein gilt für das Satz von Bayes:

P(Bk|A) = P(A|Bk)·P(Bk) / (P(A|B1)·P(B1) + P(A|B2)·P(B2) + P(A|B3)·P(B3) + ... + P(A|Bn)·P(Bn))

---

okay danke, dann habe ich das total falsch verstanden :D

dann heißt also der bei die rot markierte Weg P (B I A ) dass B unter der Bedingung A vorkommen

und somit ist  P(A n B ) = P(A)* P (dass B unter der Bedingung A vorkommt)


ohje, das hatte ich echt total falsch verstanden

---

Ja so ist das richtig. So hatte ich das ja auch oben definiert

P(A ∩ B) = P(A) * P(B | A)

Deswegen hatte ich die Einzelnen Bestandteile oben auch an den Baumdiagramm angemalt.

Answer 2

Es ist
P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)   (Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B)
P(B | A) = P(A ∩ B) / P(A)   (Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung A)

Daraus folgt
P(B) * P(A | B) = P(A ∩ B)   (Pfadmultiplikationsregel)
P(A) * P(B | A) = P(A ∩ B)   (Pfadmultiplikationsregel)

Weiter folgt zum Beispiel
P(B) * P(A | B) = P(A) * P(B | A).