Grenzwerte bestimmen für x gegen ∞

Question

Bestimmen Sie die Grenzwerte, falls sie existieren:

$$f\left( x \right)=\frac { { x }^{ 3 }-{ x }^{ 2 }*cos(x)+sin(x) }{ (x+cos(x))*(x-sin(x)) } $$

Answer 1

Für sehr große Zahlen x dominiert x³ den Wert des Bruches.(die Terme mit sin und cos liegen ohnehin zwischen +1 und -1). Der Grenzwert existiert also nicht im Endlichen.

Answer 2

lim_x→∞  [ (x³ - x²·COS(x) + SIN(x)) ] / [ ((x + COS(x))·(x - SIN(x))) ] 

x² im Zähler und im Nenner ausklammern:

=  lim_x→∞  [ x^2 ·(x - COS(x) + SIN(x))/x² ) ] / [ x² (1 + COS(x)/x)·(1 - SIN(x)/x ) ]

durch x² kürzen:

= lim_x→∞  [ x - COS(x) + SIN(x))/x² ] / [ (1 + COS(x)/x)·(1 - SIN(x)/x ) ]

(die kleinen Brüche mit x im Nenner streben gegen   -1 ≤  cos(x) , sin(x)  ≤ 1

=  " ∞ / 1 "  = ∞

Gruß Wolfgang 

Comments

Wieso wird x² ausgeklammert und nicht x³ ?

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Man klammert immer die höchste Potenz des Nenners, sonst hat dieser wieder den Grenzwert 0.

Answer 3

Klammere im Zähler und Nenner x^3 aus

= lim(x--->∞) x^3 ( 1 -cos(x)/x +sin(x)/x^3 /(x^3 *(1/x -sin(x)/x^2 +cos(x)/x^2 - (sin(x) cos(x))/x^3)

Kürze das x^3 im Zähler und Nenner

=lim(x--->∞)  ( 1 -cos(x)/x +sin(x)/x^3 /((1/x -sin(x)/x^2 +cos(x)/x^2 - (sin(x) cos(x))/x^3)

= (1 - 0+0)/(0-0+0-0)

=1/0

=∞