Hyperbolischer Punkt Hesse Matrix

Question

Folgende Funktion ist gegeben:

xsiny + y^2cosx

Gibt es eine Umgebung der Stelle (0,0), in der f nur nicht negative oder nur nicht positive Werten annimmt?

Ich hab den Hesse Matrix berechnet und festgestellt das es sich um einen hyperbolischen Punkt handelt. Wie kann ich aber daraus jetzt schließen ob welchen Wert ein Punkt in der Umgebung annehmen kann?

Answer 1

für hinreichend kleine \( x \) und \( y \) ist

\(f = x \sin(y) + y^{2 \cos(x)} \approx xy + y^2 \).

Sei durch \( x^2 + y^2 < \varepsilon^2 \) eine (kreisförmige) offene Umgebung \( U_\varepsilon \) mit dem Radius \( \varepsilon \) gegeben. Es gibt kein solches \( \varepsilon \), sodass \( f \leq 0 \) oder \( f \geq 0 \) für alle \( (x, y) \in U \) gilt. (Ist noch zu zeigen.)

Mister

Answer 2

Dann haben doch die Hauptkrümmungsrichtungen unterschiedliche

Vorzeichen.  Also gibt es eine solche Umgebung nicht.

Comments

Entschuldigung die Funktion lautete f(x)=sin(y) +y²cos(x). Ja stimmt wenn es ein hyperbolischer Punkt ist, ist die Hauptkrümmungsrichtung verschieden. Also ist noch etwas zu zeigen so wie Mister meinte? Wäre der Punkt elliptisch dann würde es eine solche Umgebung geben oder?

---

Würde ich auch so sehen.

Mit dem Lösungshinweis von Mister geht es auch ganz schön,

denn  xy + y² =   y * (x+y)  und einem pos. epsilon gilt jedenfalls

( eps/4 ; eps/2 )  und   ( eps/4 ;  - eps/2 ) liegen beide in der

Umgebung, aber y * (x+y)  hat für beide unterschiedliche Vorzeichen.