M(x,y) = (x+y)*e^{-x^2-y} Maximum

Question

Ein Medikament mit zwei Wirkungsbestandteilen soll so eingestellt werden, dass die Wirkung maximal wird. Die Stärke M der Wirkung lässt sich durch die funktionale Abhängigkeit.


M(x,y) = (x+y)*e^{-x^2-y}

beschreiben, dabei sind x bzw. y die Mengen der beiden Bestandteile. Wie sollte man x und y wählen, damit man maximale Wirkung erhält?

Answer 1

M(X, y) = (x + y)·e^{- x^2 - y}

dM / dx = - e^{- x^2 - y}·(2·x^2 + 2·x·y - 1)
dM / dy = - e^{- x^2 - y}·(x + y - 1)

d^{2}M / dxdx = 2·e^{- x^2 - y}·(2·x^3 + 2·x^2·y - 3·x - y)
d^{2}M / dxdy = e^{- x^2 - y}·(2·x^2 + 2·x·y - 2·x - 1)
d^{2}M / dydx = e^{- x^2 - y}·(2·x^2 + 2·x·y - 2·x - 1)
d^{2}M / dydy = e^{- x^2 - y}·(x + y - 2)

x + y - 1 = 0
y = 1 - x

2·x^2 + 2·x·y - 1 = 0
2·x^2 + 2·x·(1 - x) - 1 = 0
x = 1/2

y = 1 - 1/2 = 1/2

Skizze:

Comments

Ich habe nur mal die notwendige Bedingung und eine Graphik gemacht und mir die hinreichende Bedingung gespart. Das wäre jetzt deine Aufgabe dich daran mal zu versuchen.

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 Mir ist es schon viel klarer geworden.