Gleichung der Tangente an den Graphen von f im Punkt P. f(x)=2x^3 + 3x , P(1|f(1))

Question

f(x)=2x^3 + 3x , P(1|f(1))

Wie gehe ich hier vor ? Mich irritiert das ^3 :)

Answer 1

f(x)=2x^3 + 3x , P(1|f(1)). f(1) = 2*1^3 + 3*1 = 5. P(1|5).

f ' (x) = 6x^2 + 3

f '(1) = 6* 1^2 + 3 = 9  ist Steigung m der Tangente t

Ansatz Tangente t.

t: y = 9x + q              | P(1|5) einsetzen.

5 = 9*1 + q

- 4 = q

t: y = 9x - 4

Kontrolle:

~plot~ 2x^3 + 3x; 9x-4;x=1; [[-2|5|-2|8]];5 ~plot~

Und richtig: Tangente bei x^3 kann irritieren. Die rote Gerade schneidet ja die Kurve nochmals weiter unten.

~plot~ 2x^3 + 3x; 9x-4;x=1; [[-5|5|-40|8]];5 ~plot~

Man könnte den Schnittpunkt von Gerade und Kurve sogar berechnen. "Tangente" ist nur lokal im Punkt P(1 | 5) gemeint und bedeutet hier: gemeinsamer Punkt mit gemeinsamer Steigung und keine Durchdringung. "gemeinsamer Punkt mit gemeinsamer Steigung" ist gelegentlich schon alles, was von einer Tangente an eine Kurve verlangt wird. 

Answer 2

Was irritiert dich an der Potenz?

Eine Tangente an den Punkt P(a|d) berechnet sich wie folgt:

Steigung von F berechnen mittels Ableitung F'.

Allgemeine Tangentengleichung: t(x) = mx+ b

m = Steigung von F im Punkt p.

Jetzt soll die Tangente noch durch den Punkt P gehen:

Also:
t(a) = d

=>

m*x + b = d

Löse nun nach b auf.

Nun hast du deine Tangentengleichung berechnet.