Längenverhältnis der Katheten im rechtwinkligen Dreieck

Question

In einem rechtwinkligen Dreieck ist eine Kathete halb, eine ein drittel und eine ein viertel so lang wie die Hypotenuse. Wie lang ist dann die andere Kathete?

Comments

Wie viele Teilaufgaben sind das? Drei? 

Ein Dreieck hat maximal 2 Katheten und eine Hypotenuse. 

EDIT: Habe Hypotenuse in der Fragestellung korrigiert. 

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Dir ist aber schon klar, dass das nicht eine Aufgabe, sondern drei Aufgaben sind? Und dass "Hypotenuse" nur mit einem "h" geschrieben wird?

Answer 1

 

c sei die Hypotenuse  und a und b seien die beiden Katheten.

Wenn a = 1/2 * c gilt, hat man mit dem Satz von Pythagoras:

c² = a² + b²  =  (c/2)² + b²    →   b² = c² - (c/2)²  =  c² - c²/4  =  3/4 · c² 

→  b = c/2 * √3     →  b/a = √3/1  (Längenverhältnis der Katheten)

[ mit a = 1/3 * c  und a = 1/4 * c hat man die gleiche Rechnung mit anderen Zahlen ) 

Kontrollergebnisse:   b = c/3 * √8   bzw.  b = c/4 * √15 ]

Gruß Wolfgang

Answer 2

Hat die eine Kathete die \(k\)-fache Länge der Hypotenuse, so ist die andere Kathete \(\sqrt{1-k^2}\) mal so lang wie die Hypotenuse. Dies folgt aus dem Satz des Pythagoras. Besonders leicht zu sehen ist das, wenn der Hypotenuse die Länge 1 gegeben wird.

(Der Titel ist ein wenig irreführend gewählt, denn es dürfte kaum das ohnehin nicht eindeutige Verhältnis der Katheten gesucht sein, sondern eher die Länge der anderen Kathete im Verhältnis zur Hypotenuse.)