also der Mittelwert ist gegeben durch
\( \bar{x} = \frac{1}{35}(8 \cdot 53 + 16 \cdot 54 + 7 \cdot 55 + 4 \cdot 56) \)
\( = \frac{1897}{35} = 54.2 \).
Die "korrigierte" Stichprobenvarianz ist
\( s^2 = \frac{1}{35 - 1}(8(53-54.2)^2 + 16(54-54.2)^2 + 7(55-54.2)^2 + 4(56-54.2)^2) \)
\( = \frac{1}{34} (11.52 + 0.64 + 4.48 + 12.96) \)
\( = \frac{29.6}{34} \approx 0.87 \).
Die Standardabweichung ist
\( s = \sqrt{s^2} = 0.93 \).
Anhand dieser Werte soll nun der Maschinenfähigkeitsindex \( c_m \) berechnet werden. Verwendet man als Definition den Ausdruck für \( c_p \) in https://de.wikipedia.org/wiki/Prozessf%C3%A4higkeitsindex, dann ergibt sich
\( c_m = \frac{o - u}{ 6 s } \)
Es ist \( o = 54 + 4 = 58 \) und \( u = 54 - 4 = 50 \). Der Term \( 6s \) bedeutet Streuung innerhalb der dreifachen Standardabweichung. Es ist
\( c_m = \frac{8}{6 \cdot 0.93} \approx 1.43 \).
Verwendet man als Definition den Ausdruck für \( c_{pK} \) des Wikipedia-Artikels, dann ist
\( c_m' = \frac{\min(\mu - u, o - \mu)}{3s} \)
\( = \frac{\min(54.2 - 50, 58 - 54.2)}{3s} \)
\( = \frac{3.8}{3 \cdot 0.93} \approx 1.36 \).
Wie erwartet ist \( c_{pK} < c_p \) beziehungsweise \( c_m' < c_m \) in der hier gewählten Notation.
Je größer der Wert von \( c_m \) oder \( c_m' \) ist, desto besser ist es. Laut Wikipedia ist zuweilen beispielsweise ein Wert von \( 1.33 \) oder \( 1.67 \) als Richtwert angesetzt. Insofern könnte man die Maschinenfähigkeit bei dieser Stichprobe als moderat ansehen (beziehungsweise beurteilen), also als nicht zu schlecht und nicht zu gut.
Mister
