Momentane Änderungsrate. Temperaturen an einem Frühlingstag

Question

Aufgabe:

Die Temperaturen an einem Frühlingstag lassen sich fur \( 0<t<24 \) (in Stunden) näherungsweise durch die Funktion \( \left.f \text { mit } f(t)=-0,01 t^{3}+0,32 t^{2}-2,08 t+6,84 \text { (in }^{\circ} \mathrm{C}\right) \) darstellen.

a) An welcher Stelle hat die Tangente an den Graphen von f die Steigung 1? Was bedeutet dies im angegebenen Sachzusammenhang?

b) Um welche Uhrzeit wird die Höchst-bzw. die Tiefstemperatur des Tages erreicht?

Ansätze:

Also soweit ich weiß muss man die zweite Ableitung bilden und f'(x)=1setzten damit man die Steigung in dem Punkt 1 berechnenden kann aber ich komme bei der Berechnung einfach nicht weiter.

Comments

f(t) = - 0.01·t^3 + 0.32·t^2 - 2.08·t + 6.84

f'(t) = - 0.03·t^2 + 0.64·t - 2.08

a)

f'(t) = 1 --> t = 7.333333333 ∨ t = 14

Das sind die Stellen an denen die Temperaturzunahme genau 1 Grad pro Stunde beträgt.

b)

f'(t) = 0 --> t = 17.33333333 ∨ t = 4

f(0) = 6.84 (Randmaximum)

f(4) = 3 (Lokales Minimum)

f(17.33) = 14.85 (Lokales Maximum)

f(24) = 3 (Randminimum)

Die niedrigste Temperatur liegt bei 3 und die höchste Temperatur bei 14.85 Grad.

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> Was bedeutet dies im angegebenen Sachzusammenhang?

Bei dieser Frage frage ich mich - im gegebenen Kontext - eigentlich immer, was die eigentlich hören wollen. 

Wahrscheinlich das, was du geschrieben hast:

> Das sind die Stellen an denen die Temperaturzunahme genau 1 Grad pro Stunde beträgt.

Aber eigentlich ist f '(14) ja nur die momentane Änderungsrate der Temperatur zur Zeit t = 14 h. Diese gäbe den weiteren Temperaturverlauf nur dann genau an, wenn dieser linear wäre.

Die Temperaturzunahme in der nächsten Stunde beträgt f(15) - f(14) = 0,89 °C.

Vielleicht sollte man deshalb besser ungefähr statt genau schreiben? (Das "genau" einfach weglassen bringt ja eigentlich auch nichts.)

Aber - wie gesagt - die Standardformulierung "Sachzusammenhang", die normalerweise eine verbale Beschreibung der Realität erwartet, nervt mich bei solchen Fragen.

Gruß Wolfgang

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s(t) sei die Position auf der Autobahn zum Zeitpunkt t. Dann ist

v(t) = s'(t) deine Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t.

Wenn v(t) = 100 ist dann beträgt deine Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t 100 km/h.

Das heißt aber nicht das du in der nächsten Stunde 100 km zurücklegst. Das eben nur wenn sich deine Geschwindigkeit nicht ändert. Trotzdem fährst du gerade 100 km/h.

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ich würde schreiben :
die momentane Änderungsrate ( = Steigung ) an
der Stelle t = 7 1/3 und t = 14  ist
dy / dx  = 1
( Einheit Grad pro Stunde )

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@MC

Das ist mir natürlich klar. Mein Problem ist allgemein die verbale Beschreibung der momentanen Zunahme. Ich denke, ohne das Wort "momentan" kommt man da einfach nicht aus.

"Die momentane Temperaturzunahme beträgt  1°C/h "

wäre sachlich völlig korrekt, klingt aber bei einer Beschreibung "im Sachzusammenhang" sehr theoretisch (was es ja auch ist :-))

Wenn man einen vordefinierten verbalen Begriff wie "(Momentan-)Geschwindigkeit" hat, ist das (scheinbar!) einfacher.

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Hallo Wolfgang,
die Mathematikersprache unterscheidet sich
mitunter von der Alltagssprache.
Den Begriff " Momentangeschwindigkeit " oder
" momentane Änderungsrate " zu gebrauchen
ist für Mathematiker sicherlich verständlich.
Es brauchen auch keine Veranschaulichung oder
längere Erklärungen in der Alltagssprache
zu erfolgen.
Auf die Frage " Was bedeutet die Steigung 1 im
Sachzusammenhang " genügt die Antwort
" dies ist der Wert der momentanen Temperatur-
änderung in der Einheit Grad / Std "

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Genau wichtig im Bezug auf den Sachzusammenhang ist nur , dass es hier nicht um die Steigung des Graphen an irgendeiner Stelle geht.

Der Lehrer möchte also hören, dass man die Tangentensteigung auch im Sachkontext deuten kann.

Und wenn es um Änderungsrate an einer Stelle geht, dann ist das auch immer die momentane Änderungsrate an einer Stelle.

Auch real spreche ich kaum von momentaner Geschwindigkeit. Das ist in der Regel die Geschwindigkeit. Anders als die Durchschnittsgeschwindigkeit.

Aber letztendlich wird von den Lehrern in der Schulmathematik nicht jedes Wort auf die Waagschale gelegt. Die Äußerung der Mathematik selbst sollte ja eigentlich immer extrem präzise sein. Im Anwendungskontext kann man aber auch umgangssprachliche Formulierungen nehmen, solange es keine Missverständnisse gibt.

Answer 1

f(t) = - 0.01·t^3 + 0.32·t^2 - 2.08·t + 6.84

f'(t) = - 0.03·t^2 + 0.64·t - 2.08

a)

f'(t) = 1

- 0.03·t^2 + 0.64·t - 2.08 = 1 --> t = 7.333 ∨ t = 14

Um 7:20 und um 14 Uhr beträgt die momentane Temperaturzunahme 1 Grad pro Stunde.

b)

f'(t) = 0

- 0.03·t^2 + 0.64·t - 2.08 = 0 --> t = 17.33 ∨ t = 4

f(4) = 3

f(17.33) = 14.85

Die Tagestiefsttemperatur liegt bei 3 Grad und die Höchsttemperatur bei 14.85 Grad.

Comments

Alles sind quadratische Gleichungen die du mit Umformung und pq-Formel lösen kannst. Wobei gibt es genau Schwierigkeiten?

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Ich verstehe nicht wie man bei Nummer a das ausrechnet wenn ich das mit der Pq Formel mache kommen da komische Ergebnisse raus die nicht stimmen :/

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- 0.03·t² + 0.64·t - 2.08 = 1   | - 1

- 0.03·t² + 0.64·t - 3.08 = 0   | :(- 0.03)

t^2 - 64/3·t + 308/3 = 0

und nun pq-Formel anwenden.

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Ok ich habe meinen Fehler gefunden ich habe bei der pq formel statt -208/3 immer + eingegeben ein Versehen von mir vielen Dank:)

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Bei b) sollten die Grenzen des Definitionsbereichs auch überprüft werden.

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Bei b) sollten die Grenzen des Definitionsbereichs auch überprüft werden.

Ich hab es anhand des Graphen gemacht.

An den Rändern hat man keine niedrigere oder höhere Temperatur. Damit hat sich das erledigt.

Answer 2

f ( t ) = -0.01 * t^3 + 0.32 * t^2 - 2.08 * t  + 6.84
f ´( t ) = -0.03 * t^2 + 0.64 * - 2.08

-0.03 * t^2 + 0.64 t * - 2.08 = 1
t = 7 1/3
und
t = 14

Der Graph

An den genannten Stellen steigt die Temperatur um 1 ° / Std

b.)
-0.03 * t^2 + 0.64 t * - 2.08 = 0
t = 4
t = 17 1/3

Zu den Zeiten werden der Tief- und Hochpunkt erreicht.
kannst du den nachweis führen welche Stelle
der Hoch- bzw. Tiefpunkt ist ?

Nachtrag : das Verhalten bei t = 0 und t = 24 muß
auch berücksichtigt werden.

Comments

Wie kommt man auf die 7 1:3 und 14 wie muss man vorgehen?

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Die Lösung einer Funktion 2.Grades kann durch
die Mitternachts- , pq-Formel oder die quadratische
Ergänzung erfolgen
-0.03 * t² + 0.64 t * - 2.08 = 1 | + 2.08
-0.03 * t² + 0.64 t * = 3.08 | * -0.03
t^2 - 21.333 * t = -102.666
t^2 - 21.333 * t + (21.333/2 )^2 = -102.666 + (21.333/2)^2
( t -21.333/2 )^2 =  11.108 | √
t - 10.666 = ± 3.333
t = 3.333 + 10.666 = 14
t = -3.333 + 10.666 = 7.333 oder 7  1/3