steckbriefaufgabe problem

Question

ich habe eine Frage bzw. ein Problem zu einer Steckbriefaufgabe:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion 4. Grades. Sie hat im Ursprung einen Wendepunkt mit der x-Achse als Tangente. Zusätzlich geht der Graph noch durch den Punkt G(1|-1). Auch hier gibt es wieder einen Wendepunkt.

Meinen Überlegungen zufolge gibt es 5 Bedingungen:

f(0)=0 [Damit ist der Ursprung gemeint.]

f''(0)=0 [Damit ist der Wendepunkt im Ursprung gemeint]

f'(0)=0 [Damit ist die Steigung im Ursprung gemeint]

f(1)=-1 [Damit ist der Punkt G gemeint]

f''(1)=0 [Damit ist der Wendepunkt bei G gemeint]

Ich hoffe mal, dass es soweit richtig ist...

Also setze ich diese Zahlen in die allg. Gleichung ein:

f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e

Dann die beiden Abl. da wir sie benötigen:

f'(x)=4ax^3+3bx^2+2cx+d                                                       f''(x)=12ax^2+6bx+2c

Dort alles eingesetzt und gerechnet kommt schließlich raus:

I) e=0

II) a+b+c+d+e=-1

III) 0=0

IV) 2c=-1

V) 12a+6b+2c=0

Wenn ich jedoch diese Werte in meinen Taschenrechner eintippe, kommen keine ordentliche Lösungen raus.

Vielleicht entdeckt ihr ja einen Fehler...

Schönen Abend

Calvin

Answer 1

Hallo Calvin,

f(x)=ax⁴+bx³+cx²+dx+e 

f'(x)=4ax³+3bx²+2cx+d            f''(x)=12ax²+6bx+2c

f(0)=0 [Damit ist der Ursprung gemeint.]

e=0

f''(0)=0 [Damit ist der Wendepunkt im Ursprung gemeint]

2c=0 → c=0

f'(0)=0 [Damit ist die Steigung im Ursprung gemeint]

d = 0

f(1)=-1 [Damit ist der Punkt G gemeint]

a+b = -1

f''(1)=0 [Damit ist der Wendepunkt bei G gemeint]

12a+6b=0

Das  ist  ⇔  a=1 und b = - 2

f(x) = x⁴ - 2x³

Gruß Wolfgang

Comments

Danke für deine Antwort! :)

Meinen Fehler habe ich auch gefunden:

Ich hatte einfach bei III) noch die Normalfunktion benutzt, und nicht die erste Ableitung...

Schönen Abend

Calvin

---

Wünsche ich dir auch :-)

Answer 2

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion 4. Grades. Sie hat im Ursprung einen Wendepunkt mit der x-Achse als Tangente. Zusätzlich geht der Graph noch durch den Punkt G\((1|-1)\). Auch hier gibt es wieder einen Wendepunkt.

Ursprung ist Wendepunkt mit der x-Achse als Tangente:

Somit handelt es sich hier um eine Dreifachnullstelle:

\(f(x)=ax^3(x-N)=a(x^4-N x^3)\)

Wendepunkteigenschaft: G\((1|...)\):

\(f'(x)=a(4x^3-3N x^2)\)

\(f''(x)=a(12x^2-6N x)\)

\(f''(1)=a(12-6N)=0\)

\(N=2\):

\(f(x)=a(x^4-2 x^3)\)

2.Wendepunkt bei G\((1|-1)\):

\(f(1)=a(1-2 )=-a=-1\)

\(a=1\):

\(f(x)=x^4-2 x^3\)