Wie macht der Taschenrechner das wenn ich sin 60 eingebe das Verhältnis √3/2 rauskommt?

Question

Sinus ist  das Verhältnis von Gegenkathete zur Hypotenuse. Jedem Verhältnis ist ein Winkel zugeordnet. 

Ich hab das bis jetzt immer mit dem Taschenrechner gerecht.

Wie kommt man darauf das z.B.   sin 60° das  Verhältnis √3/2  zugeordnet wird ?

 Mit arcsin kann man das ganze Umkehren:  arcsin√3/2 wird der winkel 60° zugeordnet.

Meine Frage: Wie leitet man her zu welchem Verhältnis welcher Winkel gehört?

bzw. Wie macht der Taschenrechner das wenn ich  sin 60 eingebe das Verhältnis √3/2 rauskommt? 

Answer 1

> Wie macht der Taschenrechner das wenn ich  sin 60 eingebe das Verhältnis √3/2 rauskommt?

Der Taschenrechner hat für bestimmte Winkel solche Ergbnisse in einer Tabelle abgespeichert. Erst wenn der Winkel in der Tabelle nicht auftaucht, verwendet der Taschenrechner andere Verfahren.

Die Werte, die der Taschenrechner abgespeichert hat, kommen zum Beispiel durch ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge 1 zustande. Zeichnet man in einem solchen die Höhe ein, dann kann man sie mittels Pythagoras berechnen. Daraus bekommt man dann Sinus und Kosinus von 30° und 60°.

Mit Pythagoras kann man auch die Katheten eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks mit  Hypotenuse 1 berechnen. Daraus bekommt man Sinus und Kosinus von 45°.

Außerdem gibt es noch das Additionstheorem sin(x+y) = sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y). Damit können dann auch für weitere Winkel der sinus und der Kosinus exakt angegeben werden.

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Viel dank hat mir sehr weitergeholfen. Wollte mich demnächst mit den Komplexen zahlen beschäftigen dann schau ich mir mal die  Additionstheoreme an.

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Es kann für sehr viele Winkel der Sinus durch Radikale ausgerückt werden. Aber irgendwann werden die  Ausdrücke zu lang. Siehe dazu How do you find exact values for the sine of all angles?, insbesondere die Tabelle mit den Sinuswerten aller ganzzahligen Winkel.

Answer 2

Zeichne mal ein Gleichseitiges Dreieck und in dieses Zeichnest du eine Höhe hinein. An diesem Dreieck, kannst du dir jetzt den Sinus und Cosinus von 30 und 60 Grad herleiten.

Wenn du in ein Quadrat eine Diagonale einzeichnest, kannst du dir dort den Sinus und Cosinus von 45 Grad herleiten.

Wenn du Probleme haben solltest gib mal bescheid.

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Vielen Dank hat mir schon weitergeholfen