Grenzwert limes von Wurzel berechnen

Question

lim(√(x^2+2)-x)

limes von x gegen unendlich
Habe keine ahnung wie man die wurzel auflöst

Answer 1

man kann die Aufgabe auch ohne jegliche Berechnung lösen.

Überlege dir: wenn x sehr groß ist, dann ist die +2 unter der Wurzel nicht von Bedeutung, da das Quadrat von x dann sehr groß und das Ausschlaggebende ist.

Dann steht dort also sowas wie √(x^2+2)≈√x^2=x. Und da in dem Term hinten noch ein x abgezogen wird steht dann dort 0, also strebt der Term gegen 0.

Comments

> wenn x sehr groß ist, dann ist die +2 unter der Wurzel nicht von Bedeutung, da das Quadrat von x dann sehr groß und das Ausschlaggebende ist.

Vielleicht sollte man doch besser so argumentieren:

Da x beliebig groß wird, wird der Unterschied  zwischen x² und x² - 2 beliebig klein ...

Dann ist man etwas näher an der Grenzwertdefinition.

Answer 2

lim(√(x²+2)-x)

Answer 3

man sieht den Grenzwert 0 tatsächlich sofort.  (vgl. Antwort  jc2144)

Wenn du es genauer haben musst:

lim_x→∞ [ √(x² + 2) - x ]  =  lim_x→∞ [ (√( x² + 2 )  - x) * (√( x² + 2 )  + x) /  (√( x² + 2 )  + x) ]

Im Zähler 3. binomische Formel anwenden:

=  lim_x→∞ [ (x²+2 - x²) / (√( x² + 2 )  + x) ]  = lim_x→∞  [ 2 / (√( x² + 2 )  + x) ]  =  " 2/∞"  =  0

Gruß Wolfgang