limes (n->unend) von Wurzel [n] = unend

Question

                Wie Kriege ich den Beweis           lim  √n  = unend.

Formal richtig hin, ich finde nirgends etwas was mir, wirklich leicht erklärt was ich machen muss..

Answer 1

Siehe Scan aus „KIT, Höhere Mathematik I, WS 2016/2017“.
Sei g der Grenzwert der Folge. 
|x_n – g| <= epsilon für n >= N
|Wurzel(n) – g| <= epsilon
Wurzel(n) – g <= epsilon
Wurzel(n) <= epsilon + g
n <= (g + epsilon)² für n >= N
Links ist n beschränkt, rechts ist n unbeschränkt -> Widerspruch -> Es gibt keine Grenze g.

Comments

Oder, einfacher:
Test auf Beschränktheit:  Die obere Schranke sei r:
|x_n| <= r
|Wurzel(n)| <= r
n <= r²         für alle n
Widerspruch, da die natürlichen Zahlen keine Obergrenze haben, also unbeschränkt sind.

Answer 2

Betrachte die Umkehrfunktion y = e^x

Was passiert hier für lim (x --> ∞) mit y und was passiert mit x für lim (y --> ∞)?

Comments

Was zeigt man damit?

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Kannst du in die Umkehrfunktion jeden beliebig großen Wert für x einsetzen ?

Dann kann in der Logarithmusfunktion auch jeder beliebig große Wert herauskommen.

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Welche Logarithmusfunktion? Gefragt ist nach dem Konvergenzverhalten der Folge \(\{a_n\}_{n\in\mathbb N}\) mit \(a_n=\sqrt n\).

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Sorry. Dann betrachte die Umkehrfunktion y = x^2. Läuft doch aufs gleiche hinaus.

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Wie lässt sich damit ein (lt. Fragestellung) formaler Beweis führen?

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Man zeige, dass es für jede beliebige reelle Zahl a ein Wert von n gibt so dass

√n > a

also

n > a^2

Damit kann es keinen Grenzwert finden, denn ich kann immer ein n finden sodass unendlich viele Folgewerte über dem Grenzwert liegen.

Was letztendlich genau für den formellen Beweis verwendet werden darf weiß ich nicht. Aber so wäre es möglich.