Ungleichung mit Bruch lösen: 1/(x+abs(x-1))<1

Question

könnte mir jemand sagen, ob ich die Ungleichung richtig gelöst habe oder ob noch etwas fehlt ?EDIT: gemäss Kommentar lautet die Ungleichung 1/(x+abs(x-1))<1  
(ursprüngliche Version 1/x+|x-1| < 1)  

x + x -1 > 1
2x > 2
x > 1
Muss hier noch etwas ergänzt werden?
lg

Comments

Was genau ist unter dem Bruchstrich? Das x? Wie hast du es aus dem Nenner geholt und warum ist der Betrag verschwunden?

Schau mal, was Wolframalpha mit deiner Ungleichung anstellt und setze bei Bedarf noch ein paar Klammern.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2Fx%2B%7Cx-1%7C+%3C+1

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Ok sorry mein fehler ich glaub so müsste es passen.

1/(x+abs(x-1))<1
https://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2F(x%2B%7Cx-1%7C)+%3C+1

Answer 1

Ok. Mit https://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2F(x%2B%7Cx-1%7C)+%3C+1

stimmt dann deine Lösung überein. Du musst aber eine Fallunterscheidung einbauen, damit der Rechenweg vollständig ist.

1/(x+abs(x-1))<1   

x+ abs(x-1) > 1       

Fallunterscheidung.

Falls x ≥ 1

x + x -1 > 1 

2x > 2 
x > 1 

L1 = { x | x> 1} 

Falls x< 1

x - ( x -1) > 1 

x - x + 1 > 1

1 > 1  Widerspruch. ==> Es gibt keine weiteren Elemente der Lösungsmenge. 

Insgesamt

L = { x | x> 1} = (1, ∞ ) 

Comments

Die Korrektheit des ersten Umformungsschrittes sollte begründet werden.

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Stimmt. Danke. Der erste Schritt gilt, wenn der Nenner grösser als 0 ist.

1/(x+abs(x-1))<1        | * Hauptnenner, Falls x + abs(x-1) > 0

x+ abs(x-1) > 1  

Dann die Fälle, wie oben aufgeführt. 

Zum Schluss noch ergänzen.

1/(x+abs(x-1))<1        | * Hauptnenner. Falls x + abs(x-1) < 0 , (d.h. x wäre sicher neg)  

x+ abs(x-1) < 1        | Da x neg. , ist x < 1

x + (-(x-1)) < 1

x - x + 1 < 1

1 < 1        . Widerspruch. 

Es bleibt bei der Lösungsmenge, die oben gefunden wurde. 

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danke für eure Antworten.

Lu müsste bei sich nicht hier:

x+ abs(x-1) < 1        | Da x neg. , ist x < 1 das relationszeichen drehen da ich ja mit einer negativen zahl multipliziere?

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Machen wir einen Zwischenschritt:

1/(x+abs(x-1))<1        | * Hauptnenner. Falls x + abs(x-1) < 0 , (d.h. x wäre sicher neg)  

1 > x + abs(x-1)        und dann links und rechts vertauschen. 

x+ abs(x-1) < 1        | Da x neg. , ist x < 1

usw. 

  

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Ok dann ist mir das klar beim ersten Fall muss ich das nicht machen da angenommen wird der x + abs(x-1) > 0 richtig?
Hier :
1/(x+abs(x-1))<1        | * Hauptnenner, Falls x + abs(x-1) > 0
lg danke für deine schnelle Hilfe

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Richtig. Schreibe ruhig auch hier einen Zwischenschritt ein.

Das Ungleichheitszeichen muss umgedreht werden, wenn du mit einer neg. Zahl multiplizierst oder durch eine solche dividierst.

Du kannst aber auch sagen, wenn der Nenner positiv ist und

1/ a < 1

ist automatisch der Nenner grösser als der Zähler. Also hier:  a>1.

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Du kannst den Nenner mit etwas Übung gut in ein Koordinatensystem einzeichnen. (grüner Graph). y = x und abs(x-1) voneinander subtrahieren.

Nun musst du nur noch feststellen, in welchem Bereich der grüne Graph oberhalb von y=1 verläuft.

~plot~ 1/(x+abs(x-1));1; x+abs(x-1) ~plot~

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Ok nun hab ich das Zusammengefasst. Mein Ergebnis wie folgt:

Fall 1:

1/(x+abs(x-1))<1     | * x+|x-1|

1 < x + |x -1|      | Ungleichheitszeichen bleibt gleich, da angenommen wird betrag > 0

x + |x-1| > 1       | Seiten vertauschen Zeichen ändert sich

x  +  x - 1 > 1

2x > 2 | :2

x > 1

Fall 2 :

1/(x+abs(x-1))<1     | * x+|x-1|

1 > x + |x -1|      | Ungleichheitszeichen ändert sich, da angenommen wird betrag < 0

x + (-(x-1)) < 1       | Seiten vertauschen Zeichen ändert sich und betrag auflösen

x  -  x - 1 < 1          | x löst sich auf

1 < 1                      | Widerspruch  

Lösungsmenge = {x | x > 1 }

dazu hätte ich jetzt noch eine frage wie viele Fälle kann es geben?

lg

PS: Bei den Graphen blick ich gar nicht durch ^^

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Fall 1: x+|x-1| >0

1/(x+abs(x-1))<1     | * x+|x-1| 

1 < x + |x -1|      | Ungleichheitszeichen bleibt gleich, da angenommen wird Nenner > 0

x + |x-1| > 1       | Seiten vertauschen Zeichen ändert sich

x  +  x - 1 > 1        | Annahme zudem x>1. 

2x > 2 | :2

x > 1

Fall 2: x+|x-1| >0

1/(x+abs(x-1))<1     | * x+|x-1| 

1 < x + |x -1|      | Ungleichheitszeichen bleibt gleich, da angenommen wird Nenner > 0

x + |x-1| > 1       | Seiten vertauschen Zeichen ändert sich

x  + ( -(  x - 1))  > 1        | Annahme zudem x<1. 

x - x + 1 > 1

1>1         . Widerspruch

Fall 3 : x + |x-1| < 0

1/(x+abs(x-1))<1     | * x+|x-1| 

1 > x + |x -1|      | Ungleichheitszeichen ändert sich, da angenommen wird Nenner < 0

x + (-(x-1)) < 1       | Seiten vertauschen Zeichen ändert sich und betrag auflösen

x  -  x - 1 < 1          | x löst sich auf

1 < 1                      | Widerspruch  

Total

Lösungsmenge = {x | x > 1 }

dazu hätte ich jetzt noch eine frage wie viele Fälle kann es geben?

Du kannst hier mit 3 Fällen arbeiten, wenn du x+|x-1| > 0 nicht extra noch mit einer Fallunterscheidung auflösen möchtest.

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Wenn du den Nenner graphisch auseinandernimmst, hast du:

~plot~abs(x-1); x ~plot~

Durch Addition ergibt sich.

~plot~ (x+abs(x-1));abs(x-1); x ~plot~

und du hast eigentlich nur 2 Fälle. Nämlich: 

1. Fall x <1: Nenner ist 1.

2. Fall x≥1: Nenner ist 2x -1.  (Geradengleichung) 

Da im ersten Fall (x<1): 1/1 < 1 rauskommt, gibt es keine Lösung für x<1.

Im zweiten Fall x≥1. bekommst du 

1/(2x-1) < 1

1 < 1(2x-1) 

1 < 2x - 1

2 < 2x

1<x        L2= {x| 1<x }

Total L = L2 = {x | 1<x} 

fertig. 

Das Verfahren mit dem Graphen ist also eigentlich schneller, da du dir den Fall 0≤ x< 1 sparen kannst. 

Voraussetzung wäre allerdings, dass du y = |x-1| und y = x ohne Aufwand einzeichnen und "addieren" kannst. 

 

Answer 2

Hallo Gucki,

Nachtrag:  > ( ursprüngliche Version 1/x+|x-1| < 1 )   

1/x + |x-1|  <  1      D = ℝ \ {0}

du musst erst einmal die Fälle  x  ≥ 1 und x < 1  unterscheiden, damit du weißt, welches Vorzeichen der Term im Betrag jeweils hat und du den Betrag auflösen kannst:

Fall 1:  x ≥ 1

1/x + x - 1 < 1   | * x 

1 + x² - x < x

x² - 2x + 1 < 0

(x-1)² < 0

L₁ = { }

Fall 2: x < 1

1/x - x +1 < 1   | * x 

Jetzt benötigt man die Unterfälle 0 < x < 1  und  x < 0  weil das < - Zeichen sich bei einer Multiplikation mit einer negativen Zahl umdreht:

Fall 2.1: 0 < x < 1

1 - x² + x < x 

1 -  x² < 0

x² > 1

|x| > 1  (Widerspruch zur Fallbedingung)

L₂₁ = { }

Fall 2.2: x<0

1/x - x + 1 < 1   | * x

1 - x² + x  > x   (Bei Mulitiplikation mit x<0 dreht sich das < - Zeichen)

1 -x² < 0 

x² > 1

-1 < x < 1  ;  + Fallbedingung  →

L₂₂ = ] -1 ; 0 [ 

L = L₁ ∪ L₂₁ ∪ L₂₂  =  ] -1 ; 0 [

Gruß Wolfgang

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Das ständige Gewurstel mit den nachträglichen Änderungen der Aufgabenstellung geht mir auf den Geist!

Jetzt bleibt die Antwort als selbständige Aufgabe einfach stehen.