Bestimmung einer Fkt. dritten Grades, dass sich f'(x) und f''(x) an der Stelle x=3 berühren und…

Question

Hallo@all Ich soll eine Fkt. dritten Grades bestimmen f(x) = a + bx + cx^2 + dx^3 Sie verläuft durch die Punkte P( -2 | 12 ) und Q( 2 | -7 ) Des Weiteren ist gegeben, dass sich f'(x) und f''(x) an der Stelle x=3 berühren. Mehr Infos gibt es leider nicht. Habe bis f'''(x) alles richtig abgeleitet. f'(x) = b + 2cx + 3dx^2 f''(x) = ... usw. Habe f'(3) und f''(3) gleichgesetzt und versucht nach einer Unbekannten aufzulösen b = -4c - 9d. Habe auch überprüft ob P und/oder Q ein Min/Max/Wendep f'(x) = 0 und f''(x) = 0. ist. Habe auch versucht mit einer Tangenten (im Grunde f''(x)) zu arbeiten wegen x=3 (s.o.) aber irgendwie fehlt mir der erste (Gedanken-)Ansatz. Kann mir jemand einen Tipp geben, womit ich anfangen sollte bzw. um den berühmten "roten Faden" zu fnden?

Answer 1

Hi,

das sieht doch schon ganz gut aus.

Du hast also bisher die Bedingungen

f(-2)=12

f(2)=-7

b=-4c-9d (indem du f'(3)=f''(3) gesetzt hast).

 

Wir haben aber vier Unbekannte, es fehlt also eine Bedingung. Da wir in x=3 eine Berührstelle haben, können wir da eine weitere Aussage treffen, nämlich: f''(3)=f'''(3) -> also die Ableitungen der letzten Bedingung müssen jeweils gleich sein.

 

Wenn ich mich nicht verrechnet habe, kommt man letztlich auf:

a=-7/2   b=-15/4   c=3/2    d=-1/4

 

-> f(x)=-1/4x^3+3/2x^2-15/4x-7/2

 

Grüße

Answer 2

f(x) = a + b·x + c·x^2 + d·x^3
f'(x) = 3·d·x^2 + 2·c·x + b
f''(x) = 6·d·x + 2·c
f'''(x) = 6·d

f(-2) = 12
f(2) = -7
f'(3) = f''(3)
f''(3) = f'''(3)

a - 2·b + 4·c - 8·d = 12
a + 2·b + 4·c + 8·d = 7
b + 6·c + 27·d = 2·c + 18·d bzw. b + 4·c + 9·d = 0
2·c + 18·d = 6·d bzw. 2·c + 12·d = 0

Dann kommen wir auf die Lösung

a = - 7/2 ∧ b = - 15/4 ∧ c = 3/2 ∧ d = - 1/4

f(x) = - 1/4·x³ + 3/2·x² - 15/4·x - 7/2 
f(x) = -0.25·x³ + 1.5·x² - 3.75·x - 3.5

Comments

Da haste das Minus bei Q(2|-7) verschluckt ;).


Zumal ich nicht sicher bin, ob Du die Bedingung des Berührens inbegriffen hast ;).


Grüße

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Unknown hat besser gerechnet. Bei mir fehlt die Bedingung mit der Berührung.

Nachtrag. Ich habe meine Rechnung oben jetzt direkt verbessert. Da waren viel zu viele Fehler drin :(

Immerhin komme ich jetzt auf die gleiche Lösung wie Unknown und kann diese damit bestätigen :)

Der Daumen gebührt aber Unknown. Ohne ihn hätte ich meine Fehler gar nicht bemerkt.