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Leider weiß ich nicht wie diese Aufgaben Lösen soll, hab mir auch 3 Bücher ausgeliehen und kann nichts dazu finden. Falls jemand eine Lösung dazu hat wäre ich sehr dankbar :)


Aufgabe 2 (Summation)

(a) Beweisen Sie, daß für jede komplexe Zahl \( z \neq 1 \) und jede natürliche Zahl \( n \in \mathbb{N} \) gilt:
$$ 1+z+z^{2}+z^{3}+\ldots+z^{n-1}=\frac{1-z^{n}}{1-z} $$
(b) Leiten Sie hieraus für \( |z|<1 \) die folgende Summenformel ab:
$$ \sum \limits_{n=0}^{\infty} z^{n}=\frac{1}{1-z} $$
(c) Nutzen Sie (a), um bei reellem \( z \neq 1 \) einen geschlossenen Ausdruck für die folgende Ableitung anzugeben:
$$ \left[1+2 z+3 z^{2}+4 z^{3}+\ldots+(n-1) z^{n-2}\right]=\frac{d}{d z}\left[1+z+z^{2}+z^{3}+\ldots+z^{n-1}\right] $$
(d) Beweisen Sie die folgende Summenformel für reelles \( |z|<1, \) indem Sie (a) \( -(c) \) verwenden und Differentiation und Summation vertauschen (dieser Rechenschritt ist hier erlaubt! \( ): \)
$$ \sum \limits_{n=0}^{\infty} n z^{n}=\frac{z}{(1-z)^{2}} $$
Hinweis: Ausklammern von \( z \) aus der letzten Summe liefert einen Ausdruck, der mit den Formeln in (c) vervandt ist! 

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Zu a) 

In C gilt das Distributivgesetz, mit dem man Klammern ausmultiplizieren kann.

Rechne mal Folgendes aus:

(1 + z + z^2 + ...... + z^{n-1} ) * ( 1 -z) 

= 1 + z + z^2 + .... + z^{n-1} - z - z^2 - z^3 - ....... - z^n

= 1 - z^n

Also

(1 + z + z^2 + ...... + z^{n-1} ) * ( 1 -z)  = 1 - z^n                 | sei z≠1   : ( 1-z)

1 + z + z^2 + ..... + z^{n-1} = (1-z^n)/(1-z) 

Wenn du willst und denkst, dass du das üben sollst, kannst du a) auch mit einer vollst. Induktion bestätigen. 

b) im Grenzwert geht dann das z^n gegen 0 für |z| < 1. 

c) leite (1-z^n)/(1-z) nach z ab.

d) in der Aufgabenstellung steht, was du machen sollst. 

Solltest du steckenbleiben, gibt es auch hier nützliche Rechnungen: https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe#Herleitung_der_Formel_f.C3.BCr_die_Partialsummen

Avatar von 162 k 🚀

Viel Dank für die Infos sind wirklich sehr hilfreich :)

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Das sind vier Fragen. Die Antwort auf die Frage a)

(1) S   =  1+ z+z2+z3+ ... ,+zn-1. Dann ist

(2) z·S = z+z2+z3+z4+ ... +zn . (2)-(1) ergibt dann

z·S-S = zn-1. links S ausklammern (z-1)·S = zn-1.

Division durch (z-1) führt zum gewünschten Ergebnis.

Avatar von 123 k 🚀

Perfekt merci dir!

+1 Daumen

das ist die geometrische Reihe einfach nur auf komplexe Zahlen angewandt. Da sich die Rechenregeln nicht unterscheiden verläuft der Beweis analog zur geometrischen Reihe für reelle Zahlen.

Avatar von 37 k

Ok alles klar :) vielen Dank! 

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