Summation mit komplexen Zahlen. Geometrische Reihe bis " Summe (n*z^n) = z/(1-z)^2 ".

Question

Leider weiß ich nicht wie diese Aufgaben Lösen soll, hab mir auch 3 Bücher ausgeliehen und kann nichts dazu finden. Falls jemand eine Lösung dazu hat wäre ich sehr dankbar :)

Aufgabe 2 (Summation)

(a) Beweisen Sie, daß für jede komplexe Zahl \( z \neq 1 \) und jede natürliche Zahl \( n \in \mathbb{N} \) gilt:
$$ 1+z+z^{2}+z^{3}+\ldots+z^{n-1}=\frac{1-z^{n}}{1-z} $$
(b) Leiten Sie hieraus für \( |z|<1 \) die folgende Summenformel ab:
$$ \sum \limits_{n=0}^{\infty} z^{n}=\frac{1}{1-z} $$
(c) Nutzen Sie (a), um bei reellem \( z \neq 1 \) einen geschlossenen Ausdruck für die folgende Ableitung anzugeben:
$$ \left[1+2 z+3 z^{2}+4 z^{3}+\ldots+(n-1) z^{n-2}\right]=\frac{d}{d z}\left[1+z+z^{2}+z^{3}+\ldots+z^{n-1}\right] $$
(d) Beweisen Sie die folgende Summenformel für reelles \( |z|<1, \) indem Sie (a) \( -(c) \) verwenden und Differentiation und Summation vertauschen (dieser Rechenschritt ist hier erlaubt! \( ): \)
$$ \sum \limits_{n=0}^{\infty} n z^{n}=\frac{z}{(1-z)^{2}} $$
Hinweis: Ausklammern von \( z \) aus der letzten Summe liefert einen Ausdruck, der mit den Formeln in (c) vervandt ist! 

Answer 1

Zu a)

In C gilt das Distributivgesetz, mit dem man Klammern ausmultiplizieren kann.

Rechne mal Folgendes aus:

(1 + z + z^2 + ...... + z^{n-1} ) * ( 1 -z)

= 1 + z + z^2 + .... + z^{n-1} - z - z^2 - z^3 - ....... - z^n

= 1 - z^n

Also

(1 + z + z^2 + ...... + z^{n-1} ) * ( 1 -z)  = 1 - z^n                 | sei z≠1   : ( 1-z)

1 + z + z^2 + ..... + z^{n-1} = (1-z^n)/(1-z)

Wenn du willst und denkst, dass du das üben sollst, kannst du a) auch mit einer vollst. Induktion bestätigen.

b) im Grenzwert geht dann das z^n gegen 0 für |z| < 1.

c) leite (1-z^n)/(1-z) nach z ab.

d) in der Aufgabenstellung steht, was du machen sollst.

Solltest du steckenbleiben, gibt es auch hier nützliche Rechnungen: https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe#Herleitung_der_Formel_f.C3.BCr_die_Partialsummen

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Viel Dank für die Infos sind wirklich sehr hilfreich :)

Answer 2

Das sind vier Fragen. Die Antwort auf die Frage a)

(1) S   =  1+ z+z²+z³+ ... ,+z^n-1. Dann ist

(2) z·S = z+z²+z³+z⁴+ ... +zⁿ . (2)-(1) ergibt dann

z·S-S = zⁿ-1. links S ausklammern (z-1)·S = zⁿ-1.

Division durch (z-1) führt zum gewünschten Ergebnis.

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Perfekt merci dir!

Answer 3

das ist die geometrische Reihe einfach nur auf komplexe Zahlen angewandt. Da sich die Rechenregeln nicht unterscheiden verläuft der Beweis analog zur geometrischen Reihe für reelle Zahlen.

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Ok alles klar :) vielen Dank!