Potenzreihen: geschlossene Darstellung? Summe(n=2; unendlich) (nx^{n-1}) .

Question

a) Berechnen Sie den Konvergenzradius p der Potenzreihe

Summe(n=2; unendlich) (nx^{n-1}).

Wir betrachten die Funktion

f:(-p,p) -> R: x-> Summe(n=2; unendlich) nx^{n-1}.

b) Berechnen Sie die Stammfunktion F zu f, die F(0)=0 erfüllt.

c) Finden sie eine geschlossene Darstellung für F.

d) Finden Sie eine geschlossene Darstellunf für f.

e) Finden Sie eine geschlossene Darstellung für Summe(n=1; unendlich)(nx^{n}.

Ich Brauche bis morgen Die Lösungen

Ich bitte um schnelle Hilfe bitte :)

Bin in zeit not

Vielen Vielen Dank

Immai

Comments

$$ \text{(b \& c)}\quad F(x)=\int_0^xf(t)\,\mathrm dt=\int_0^x\sum_{n=2}^\infty nt^{n-1}\,\mathrm dt=\sum_{n=2}^\infty\int_0^x nt^{n-1}\,\mathrm dt=\sum_{n=2}^\infty t^n\bigg\vert_0^x=\sum_{n=2}^\infty x^n=\frac{x^2}{1-x}.$$

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Warum eine spam markierung?

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Die Spam-Markierung wurde offenbar wieder entfernt, warum sie gesetzt wurde, bleibt, wie meist, offen.

Grundsätzlich solltest du allerdings Testataufgaben nicht von anderen lösen lassen, das ist ganz schlechter Stil und deine Tutoren lesen vielleicht hier mit. Schreib doch einfach dazu, was du schon versucht hast und welche Fragen das aufgeworfen hat und verzichte auf kurzfristige Dringlichkeitsvermerke.

Die Aufgabenstellung könnte auch ein wenig exakter wiedergegeben werden.

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Ich habe die frage eins zu eins angeschrieben.

Es ist ja auch nicht eine testfrage an sich

Sondern eine art hausaufgabe :)

Echt ist es wahrscheinlich das tuturen mitlesen? :)

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Wie wahrscheinlich das ist, weiß ich nicht. Immerhin ist es durchaus möglich. Also könntest du den Tutoren mal zeigen, was du dir zu den Aufgaben so gedacht hast. Das würde ich mal für eine sinnvolle Herangehensweise halten.

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Ist die aufgabe exht so schwer? :)

Hat jemand noch eine idee?

Answer 1

Eine bessere Antwort habe ich leider nicht :

https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+n+*+x+%5E+(n-1)+from+2+to+infinite

Da kannst du den Konvergenzradius anschauen und die geschlossene Darstellung,

wenn x zwischen -1 < x < + 1 liegt

b.) und c.) kannst du mit Hilfe der Informationen von der Webseite von oben selbst ermitteln.

Zu e.)

https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+n+*+x+%5E+n+from+1+to+infinite

Leider zeigt Wolfram Alpha immer nicht an, wie "er" darauf kommt.

Comments

Vielen Dank

Dami kann ich etwas anfangen :)

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Ich bekomme leider doch den konvergwnz radius nicht heraus.

Und b)  und c)

Weiss ich leider wegen eng. Kenntnissen nicht welches es sein muss

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Also konvergieren tut die Summe mit Index n mit n von 2 bis Unendlich mit n * x ^ (n - 1) nur dann, wenn x größer als -1 ist und kleiner als +1 ist.

Das kann man auch ganz primitiv mit Computer oder dem programmierbaren Taschenrechner selber ausprobieren.

Zum Beispiel beträgt mit x = 0.9 die Summe 99 und mit x = 0.5 beträgt die Summe 3 und mit x = 0 beträgt die Summe 0

Vielleicht hilft dieses Video :

Also die Stammfunktion zu

-((x - 2) x)/(x - 1)^ 2 (siehe Link in meiner Antwort) lautet :

(1 / (1 - x)) - x + C

Wenn das 0 sein soll für x = 0, dann muss C = - 1 sein.

Ich hoffe, dass ich nichts falsch verstanden habe,
weil das alles meine Fähigkeiten ein bisschen übersteigt.