Geschlossene Darstellung von Summe finden

Question

 

Hi,

kann mir jemand diese Vorgehensweise erklären? Wieso wird hier von 0 bis x integriert (der Satz oben gilt ja (nur?) für unbestimmte Integrale. Was ist mit negativen x-Werten? Und was genau ist t? Gilt tⁿ = xⁿ/n und t^n-1 = x^n-1 ?

Comments

Ich bin zwar nicht das Adlerauge schlecht hin, aber auch nicht der größte Maulwurf hier und finde das schon ziemlich klein und schlecht leserlich. Stell also lieber mal eine größere Version von deinem Bild rein.

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Sorry, der Uploader hier, hat das Bild tot komprimiert: http://abload.de/img/unbenannt12kqn.png

Answer 1

vielleicht hilft dir diese Form der Erklärung von der Vorgehensweise basierend auf Satz 6.7.20:

Ziel: Die vorliegende Potenzreihe auf dem Konvergenzradius als Funktion darzustellen.

1. Schritt: Die Summanden der Potenzreihe als Integral darstellen. Beispiel:

$$ \int \limits_{0}^x t^{n-1}dt = \frac{x^n}{n} $$

2. Schritt: Nach Satz 6.7.20 darfst du auf dem Konvergenzradius Summe und Integral vertauschen. Im Integranden hast du nun wieder eine Potenzfunktion, mit der du aber viel einfacher umgehen kannst (was a priori eigentlich schon dein Zwischenziel war).

3. Schritt: Summe im Integranden berechnen.

4. Schritt: Integrieren.

Deine Fragen:

Wieso wird hier von 0 bis x integriert 

->Siehe Schritt 1.

der Satz oben gilt ja (nur?) für unbestimmte Integrale

-> Nein.

Was ist mit negativen x-Werten?

-> Nichts spezielles, diese Vorgehensweise funktioniert für alle \(x\) aus dem Konvergenzbereich. Da ist die Einschränkung vorzunehmen.

Und was genau ist t? Gilt tⁿ = xⁿ/n und t^n-1 = x^n-1 ?

-> Die Variable nach der integriert wird. Nein diese Zusammenhänge gelten nicht wirklich.

Gruß