Konstante in einer Gleichung bestimmen

Question

ich hätte eine Frage zur folgenden Aufgabe:

Bestimmen Sie eine reelle Konstante c wofür gilt : $$ Q(x)=(x+c) \cdot P(x) $$ für alle x Element der reellen Zahlen.

Wobei $$  P: x ---> x^4 -4x^3-3x+1 $$ und $$ Q:x ---> x^5 -5x^4 -3x^2 +4x -1 $$ zwei polynomiale Abbildungen auf R sind.

Meine Idee:

Ich stelle die Gleichung nach c um

$$ \frac{Q(x)}{P(x)} - x = c $$ Da diese Gleichung für jedes x gelten soll, kann ich doch beliebige werte einsetzten und erhalte somit die reelle Konstante. Problem ist nur, das für verschiedene Werte für x unterschiedliche Konstanten erhalte.

Er wird aber nur eine Konstante gesucht, sodass die Gleichung für alle x gilt.

 

Answer 1

   (x + c )· (x⁴ - 4·x³ - 3·x + 1) = x⁵ + c·x⁴ - 4·x⁴ - 4·c·x³ - 3·x² - 3·c·x + x + c

                 =  x⁵ + (c-4) · x⁴ - 4c · x³ - 3 · x² + (1-3c) · x + c 

                 =  x⁵ - 5 · x⁴  + 4 · x³ - 3 ·x² +  4 · x - 1          für   c = -1

In der Angabe für  Q(x) fehlt der Summand  + 4x³ 

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Du hattest also recht mit deinen Bedenken:

> Da diese Gleichung für jedes x gelten soll, kann ich doch beliebige Werte einsetzen und erhalte somit die reelle Konstante. Problem ist nur, das für verschiedene Werte für x unterschiedliche Konstanten erhalte.

Das schließt aus, dass es ein solches c gibt.

Gruß Wolfgang

Comments

Vielen Dank für deine Antwort

Answer 2

Hi,

man sieht direkt am letzten Summanden, dass für

P(x)*(x+c) = Q(x) gelten muss c = -1. Nur so ist von der linken Seite auf die rechte Seite zu kommen (betrachtet man das Absolutglied. Passt auch mit den anderen Gliedern.).

Grüße

Comments

Hallo Unknown

Es passt nur nicht bei der x-Potenz, die bei Q(x)  in der Aufgabenstellung vergessen wurde :-)

vgl. meine Antwort

Gruß Wolfgang

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Wohl wahr. Ich hatte es nur grob überflogen, da mein Hauptaugenmerk auf der Bestimmung von c lag. Danke.