zum ersten Teil der Aufgabe:
Der Einheitskreis lässt sich parametrisieren mit z=e^{i*t} , t∈(-π,π)
f(z)=(e^{it}-1)/(e^{it}+1)
=(cos(t)+i*sin(t)-1)/(cos(t)+i*sin(t)+1)
=(cos(t)+i*sin(t)-1)*(cos(t)+1-i*sin(t))/[(cos(t)+i*sin(t)+1)*(cos(t)+1-i*sin(t))]
=2*i*sin(t)/[2*(cos(t)+1)]
=i*sin(t)/(cos(t)+1)
=i*2*sin(t/2)*cos(t/2)/[2*cos^2(t/2)]
=i*sin(t/2)/cos(t/2)=i*tan(t/2)
tan[(-π/2,π/2)]=ℝ
---> f(K)={iy:y∈ℝ}