Einheitskreislinie und Satz von Thales

Question

Zeigen Sie, dass das Bild f(K) der punktierten Einheitskreislinie \( K = \{ z = e^{ix} : x \in [0,2π), x ≠ π \} \) unter der Abbildung:

$$ f : \mathbb{C} \backslash \{-1\} → \mathbb{C}, \qquad f(z) = \frac{z-1}{z+1} $$

die imaginäre Achse {iy : y ∈ ℝ} ist. Folgern Sie daraus den Satz von Thales: Ein Dreieck ist rechtwinklig, wenn sich zwei Ecken auf dem Umkreis gegenüber liegen.

Answer 1

zum ersten Teil der Aufgabe:

Der Einheitskreis lässt sich parametrisieren mit z=e^{i*t} , t∈(-π,π)

f(z)=(e^{it}-1)/(e^{it}+1)

=(cos(t)+i*sin(t)-1)/(cos(t)+i*sin(t)+1) 

=(cos(t)+i*sin(t)-1)*(cos(t)+1-i*sin(t))/[(cos(t)+i*sin(t)+1)*(cos(t)+1-i*sin(t))]

=2*i*sin(t)/[2*(cos(t)+1)]

=i*sin(t)/(cos(t)+1)

=i*2*sin(t/2)*cos(t/2)/[2*cos^2(t/2)]

=i*sin(t/2)/cos(t/2)=i*tan(t/2)

tan[(-π/2,π/2)]=ℝ

---> f(K)={iy:y∈ℝ}