Wieso darf n nicht ausgeklammert werden?

Question

$$ \lim_{n\to\infty} \frac { 1+2+...+n }{ n^2 }\neq \lim_{n\to\infty} \frac { 1/n+2/n+...+1 }{ n }$$

Begründung warum es nicht geht: Die Summe kann beliebig lang weden und somit bleibt die Anzahl der Summanden nicht konstant. Man benutz zunächst die gaußsche Summenformel...

Kann mir jemand diese Bergündung genauer erklären? Man kann doch "n" theoretisch ausklammern und dann würden alle Zahlen kleiner n gegen null gehen?

Answer 1

Warum klammerst du nicht n^2 aus ? Dann ist der Nenner 1.

Answer 2

Deine Idee ist , wenn ich es richtig verstehe, etwa so:Alle Summanden ( bis auf die 1 ) gehen gegen 0, also auch deren Summe.Das letzte ist der Denkfehler.

Dann würde ja jede Reihe, deren Summanden gegen 0 gehen den

Wert 0 .  das ist aber offenbar falsch.

Answer 3

Auf dem Bruchstrich links steht etwas, das man mit der Summenformel zu n(n+1)/2 umformen kann. Dann steht da n(n+1)/(2n²). Kürzen mit n²  ergibt (1+1/n)/2. Der Limes für n→∞ ist dann 1/2.