Ableitungen von Funktionen wie f(x) = x³ + √x und f(x) = 3x^{17} - 5x^{12} + 4x^{3} - 6

Question

Die Ableitungen dieser Funktionen sind gesucht:

a) f(x) = x³ + √x

b) f(x) = 3x¹⁷ - 5x¹² + 4x³ - 6

c) f(x) = xⁿ + x - 1 + (1/x)

d) f(x) = -(x-1)²  + 4

e) f(x) = √(4x + 7)

f) f(x) = (2/3x-6)

g) f(x) = (x²+1) · (x² - 1)

h) f(x) = (2x + 1)³

Answer 1

Hallo Emily,

Summanden werden einzeln abgeleitet. Die Ableitung einer Konstanten = 0

Für a) b) c) und d) genügt die Potenzregel:  [ xⁿ ] ' =  n • x^n-1

a) f(x) = x³ + √x  =  x³ + x^1/2

    f '(x) = 3x²  + 1/2 • x^-1/2  = 3x² + 1/(2•√x)     merken 

b) f(x) = 3x¹⁷ - 5x¹² + 4x³ - 6

        f '(x) = 51x¹⁶ - 60x¹¹ + 12x² 

c) f(x) = xⁿ + x - 1 + (1/x) =  xⁿ + x - 1 + x^-2

       f '(x) = n • x^n-1 + 1 - x^-2 =  n • x^n-1 + 1 - 1/x²    merken

d) f(x) = -(x-1)²  + 4 = - x² + 2x - 1 - 4  

       f '(x) = -2x + 2

Jetzt brauchst du die Kettenregel (Kurzfassung)  [ f(u) ] ' = f'(u) * u '

e) f(x) = √(4x + 7) 

    f '(x) = 1/ [ 2•√(4x+7)]  • 4 = 2 / √(4x+7)      

f) f(x) = 2/ (3x-6)  ?     ; 1/u wie bei c) ableiten

     f '(x) = - 2 / [ 3·(x - 2)²]

g) f(x) = (x²+1) · (x² - 1) = x⁴ - 1           (3. binomische Formel)

          f '(x) = 4x³ 

h) f(x) = (2x + 1)³  

      f '(x) = 3 • (2x+1)² • 2 = 6 • (2x+1)²

          ^{(Potenzregel mit Kettenregel)}

Gruß Wolfgang

Answer 2

Das würde jetzt eine längere Zeit benötigen, alle Aufgaben zu lösen. Deshalb:

a) x³ + √(x)

Hier musst du die Summenregel benutzen. D.h. Erst einmal x³ ableiten, dann √(x) ableiten. Der Operator (+) gehört natürlich zwischen den beiden Ableitungen.

Als Tipp:

√(x) = x^1/2

Answer 3

a) f(x) = x³ + √x = x^3 + x^{1/2}

Kannst du das jetzt ?

b) f(x) = 3x¹⁷ - 5x¹² + 4x³ - 6

Hier solltest du keine Probleme haben

c) f(x) = xⁿ + x - 1 + (1/x) = x^n + x - 1 + x^{-1}

Kannst du das jetzt ?

d) f(x) = -(x-1)²  + 4 = -(x^2 - 2·x + 1) + 4 = -x^2 + 2·x + 3

Kannst du das jetzt ?

e) f(x) = (4·x + 7)^{1/2}

Ableitung mit Kettenregel ergibt: f'(x) = 4·1/2·(4·x + 7)^{- 1/2}

f) f(x) = 2/(3x - 6) = 2·(3·x - 6)^{-1}

Hier auch Kettenregel anwenden

g) f(x) = (x²+1) · (x² - 1) = x^4 - 1

Kannst du das jetzt ?

h) f(x) = (2x + 1)³

Auch hier normal Kettenregel anwenden oder über den binomischen Satz ausmultiplizieren.

Lass dann die Ableitung mit www.wolframalpha.com machen damit du eine Kontroll-Lösung hast.

Hast du dann noch Probleme melde dich gerne wieder.

Answer 4

Mal zwei zum vergleichen:

a) f(x) = x³ + √xf ' (x) = 3x^2 + 1 / (2√x)    =   3x^2 +  1/2 * x ^-1/2

b) f(x) = 3x¹⁷ - 5x¹² + 4x³ - 6f ' (x) = 3*17*x^16 - 5*12*x^11  + 4*3 * x^2 


= 51x^16  -  60x^11  + 12x^2

Answer 5

a) f(x) = x³ + √x = x³ + x^1/2  f '(x)= 3x²+1/2x^-1/2=3x²+1/(2√x)

b) f(x) = 3x¹⁷ - 5x¹² + 4x³ - 6  f '(x)=51x¹⁶ - 60x¹³+12x²

c) f(x) = xⁿ + x - 1 + (1/x)=xⁿ + x - 1 + x^-1  f '(x)=nx^n-1+1-1x^-2=nx^n-1+1-1/x²

d) f(x) = -(x-1)²  + 4 = -(x²-2x+1)+4 = -x²+2x+3   f '(x)= -2x+2

und so weiter

Answer 6

b)  f '(x)= 51 x^16 -60 x^11 +12 x^2

h)  f '(x)= 3 (2x+1)^2 *2

f '(x)= 6 (2x+1)^2

Answer 7

g) g(x)=(x^2+1)*(x^2-1)

dritte binomische Formel anwenden

=x^4-1

g'(x)=4*x^3