Integration von 1/(x^2 -x + 1) durch Substitution

Question

\( \underbrace{\int \frac{1}{x^{2}-x+1} d x}_{(\star)} \)

Für \( (\star) \) gilt:
\( \int \frac{1}{x^{2}-x+1} d x=\int \frac{1}{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{3}{4}} d x=\int \frac{1}{\frac{3}{4}\left[\frac{4}{3}\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}+1\right]} d x=\frac{4}{3} \int \frac{1}{\left(\frac{2 x-1}{\sqrt{3}}\right)^{2}+1} d x \)

Substituiere \( \frac{2 x-1}{\sqrt{3}}=u \Rightarrow d x=\frac{\sqrt{3}}{2} d u \)

\( =\frac{4}{3} \int \frac{1}{u^{2}+1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} d u=\frac{2}{\sqrt{3}} \arctan (u) \)

Resubstituiere

\( =\frac{2}{\sqrt{3}} \arctan \left(\frac{2 x-1}{\sqrt{3}}\right) \)

Hier ein Integral (oben) und die dazugehörige Lösung per Substitution..

Für mich ist es einfach schwer zu verstehen, was dort gemacht wird. Wie und vor allem wieso wird der Nenner in der ersten Zeile so umgeformt? Was ist der Sinn hinter der ganzen Lösung?

Answer 1

Hi,

arg viel zu sagen gibt es da eigentlich nicht. Man kann keine sinnvolle Partialbruchzerlegung durchführen, weshalb auch ein Ergebnis mit Logarithmus nicht naheliegend ist. Damit fällt spätestens die zweite Wahl direkt auf den arctan. Für den arctan sollte bekannt sein, dass dieser der Form 1/(x^2+1) zugrunde liegt. Eben genau das, auf was obiges hingeführt wird ;).

Grüße

Comments

Ahaaa, der arctan also.. das schau ich mir jetzt mal genauer an! Könnte sein, dass ich noch 1-2 Frage haben werde ^^

! :)

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Zum Verständnis, das heißt also:

Bei solchen Integralen schaue ich als erstes ob Partialbruchzerlegung gehen würde, was aber hier nicht klappt, weil ich keine Nullstelle finde für den Nennen? (richtig??)

Schau ich dann direkt immer wie ich das per Substitution und dem arctan hinkriege?

Gibt es da noch andere Alternativen?

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Bei solchen Integralen schaue ich als erstes ob Partialbruchzerlegung gehen würde,

 

Jein. Unter anderem sieht man teilweise mit etwas Erfahrung direkt worauf es hinausläuft und eine Untersuchung ob eine Partialbruchzerlegung braucht oder nicht ist dann unnötig.

 

Ansonsten: So gehe zumindest ich vor, ist aber kein allgemeines Kochrezept. Obs Alternativen gibt? Die zwei genannten würden mir jetzt als erstes ins Auge stechen...

Answer 2

Das ist eine quadratische Ergänzung mit dem Ziel

1 / (u^2 + 1)

Ein Bruchtyp, bei dem arctan benutzt werden kann.

Comments

Das mit der quadratischen Ergänzung habe ich gesehen und den Zweck habe ich mittlerweile auch erkannt :)

Aber ich frage mich momentan noch wie man in der ersten Zeile (der Lösung) das 3/4 in die quadratische Klammer zieht?

Kannst du mir das noch erklären? :)

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x^2 - x + 1
= (x - 1/2)^2 -1/4 + 1

= (x-1/2)^2 + 3/4

           |3/4 ausklammern

= 3/4(4/3(x-1/2)^2 + 1)

           |4/3 'in die quadratische Klammer ziehen

           | √(4/3) = 2/√3 in die Klammer schreiben

=3/4 ((2/√3(x-1/2))^2 + 1)

=3/4(((2x - 1)/√3 )^2 + 1)

Verständlich?

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Ah, meinte natürlich (4/3)! ;)

Ich habe es verstanden durch dich!   :) :)