Exponentialfunktion Wachstumsprozess Fruchtfliegen

Question

Ich habe versucht folgende Aufgabe selber zu lösen als ich die Probe gemacht habe, habe ich gemerkt dass ich was falsch habe. Es wäre nett wenn mir jemand auf mein Fehler hinweisen kann.

Fruchtfliegen vermehren sich bei unbeschränkten Nahrungsangebot exponentiell: N (t) = N₀ * e ^{λ*t}

Bei einer experimentellen Beobachtung ist nach 2 Tagen die Anzahl der Fruchtfliegen 180 und nach 4 Tagen 300.

1. Bestimme die anfängliche Populations Größe

2. Bestimme die Anzahl nach 10 Tagen

Zu 1.

N (2) = 180 und N (4)=300

I. 180= N₀ * e^ (λ*2)

II. 300= N₀ * e^{λ*4}

I. 180/ N₀ = e^ (2λ)

ln (180/N₀) =  2λ

1/2 * ln (180/N₀) =  λ

 λ in II

II. 300 = N₀ *e ^{1/2 * ln (180/N₀)   * 4}

ln (300/N₀) =  1/2 * ln (180/N₀) *4

ln (300)-ln (N₀) = 1/2 ln (180) - 1/2 ln (N₀) *4

1/4 *( ln (300)/ 0,5* ln (180) )  = - 1/2 ln (N₀) + ln (N₀)

1/4 *(  ln (300)/ 0,5* ln (180) )= 1/2 ln (N₀)

1/2 *( ln (300)/ 0,5* ln (180) )= ln (N₀)

e^ (1/2 * ln (300)/ 0,5* ln (180) ) = N₀

N₀ = 3

1/2 * ln (180/N₀) =  λ = 2,047

Dankeschön:)

Answer 1

f(x) = a·b^x

f(2) = 180

f(4) = 300

b = (300/180)^{1/[4 - 2]} = √15/3 = 1.291

f(2) = a·1.291^2 = 180 --> a = 108.0

f(x) = 108.0·1.291^x = 108.0·EXP(LN(1.291^x)) = 108.0·EXP(LN(1.291)·x) = 108.0·EXP(0.2555·x)

Skizze

~plot~ 108.0*exp(0.2555*x);[[0|10|0|1000]] ~plot~

Comments

Dankeschön,

Ich konnte alles nachvollziehen aber könntest du mir sagen wie du auf das kommst: b = (300/180)^{1/(4 - 2}) ?

Kommt man mit rechenweg gar nichts zum Ergebnis?

Danke dir 

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du weißt ja das wenn man von 2 nach 4 nach rechts geht die Werte von 180 auf 300 ansteigen.

Ich nehme mal meinen Ansatz damit du das siehst:

f(2) = 180 --> a * b^2 = 180
f(4) = 300 --> a * b^4 = 300

II / I

(a * b^4) / (a * b^2) = 300 / 180

a kann man kürzen

b^4 / b^2 = 300 / 180

potenzgesetz anwenden

b^{4 - 2} = 300 / 180

Jetzt die Potenz wegbekommen indem man die Wurzel zieht oder die Wurzel eben auch als Potenz schreibt.

b = (300 / 180)^{1/[4 - 2]}

Dieses ist der etwas längere Weg. nachdem man gefühlte 1000 Aufgaben gerechnet hat ist diese Faktorformel aber genau so drin wie die Formel zur Berechnung der Steigung durch 2 Punkte.

Wäre es eine Lineare Funktion dann hätte man ja auch die Steigung berechnet

m = (300 - 180) / (4 - 2)

Eventuell siehst du Parallelen die ja nicht gänzlich zufällig sind.