Professor Oberschlau hat recht? "enthält die Klasse aller Klassen, die sich selbst nicht als Element enthalten, ...?"

Question

Professor Oberschlau zeigt sich unbeeindruckt von der angeblichen Überwindungder Russellschen Antinomie durch die Einführung von Klassen. Es nütze nichts, einfach alles nur umzubenennen, so Oberschlau – das löse doch kein Problem. Wie vormals gebe es jetzt eine, nun, nennen wir sie die Oberschlausche Antinomie: enthält die Klasse aller Klassen, die sich selbst nicht als Element enthalten, sich selbst als Element oder nicht? Frage: hat Oberschlau recht?

Comments

Wie wurden denn die Klassen eingeführt? Existiert die Klasse aller Klassen, die sich selbst nicht als Element enthalten überhaupt? Und muss unbedingt eindeutig geregelt sein, ob die Klasse aller Klassen, die sich selbst nicht als Element enthalten, sich selbst als Element enthält oder nicht? Und warum legt sich Professor Oberschlau überhaupt mit Professor Oberschelp an?

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oswald, warum führt das nicht zu einer Antinomie, wenn nicht eindeutig geregelt ist, ob die Klasse aller Klassen, die sich selbst nicht als Element enthalten, sich selbst als Element enthält oder nicht? Und wenn ich das ganze durchspiele, komme ich bei besagter Klasse zu der gleichen Antinomie, wie bei der Russelschen Klasse. Aber das wäre ja egal, wenn es diese Klasse gar nicht gäbe bzw. es nicht geregelt sein muss. Nur fehlt mir dafür die Begründung. 

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TBS11, wenn du möchtest, dass oswald merkt, dass du einen Beitrag schreibst, solltest du einen Kommentar zu seinem Beitrag einstellen (keine Antwort) . 

EDIT: Habe deine "Antwort" nun in einen Kommentar umgewandelt, damit die Frage nicht mehr "beantwortet" aussieht. 

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oswald, 

warum führt das nicht zu einer Antinomie, wenn nicht eindeutig geregelt ist, ob die Klasse aller Klassen, die sich selbst nicht als Element enthalten, sich selbst als Element enthält oder nicht? 

Und wenn ich das ganze durchspiele, komme ich bei besagter Klasse zu der gleichen Antinomie, wie bei der Russelschen Klasse. Aber das wäre ja egal, wenn es diese Klasse gar nicht gäbe bzw. es nicht geregelt sein muss. Nur fehlt mir dafür die Begründung. 

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Achso danke. Habe das mal gemacht. Aber wenn du eine Antwort weißt, dann würde die auch hinnehmen :D

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> Nur fehlt mir dafür die Begründung

Und mir fehlen die Axiome, auf die man eine Begründung hätte aufbauen können. Meine Frage "Wie wurden denn die Klassen eingeführt?" hast du nämlich ignoriert.

Laut Neumann-Bernays-Gödel gibt es die Klasse, um die es geht, überhaupt nicht.

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"Klassen und Mengen: Zu jeder Menge A kann man die Aussage- form x 2 A bilden. Dies ist dann die “Eigenschaft, eine Element von A zu sein”, oder auch die “Klasse der Elemente von A”. Da man sich Klassen (wie Mengen) als Zusammenfassungen von Objekten vorstellt, spricht man dann kürzer auch von der “Klasse A”. In diesem Sinne “ist” also (salopp gesprochen) jede Menge auch eine Klasse. Umgekehrt “ist” nicht jede Klasse eine Menge, d.h. es gibt nicht zu jeder Klasse p(x) eine Menge, die genau die Mengen a, für die die Aussage p(a) wahr ist, als Elemente enthält. Klassen, die in diesem Sinne keine Mengen sind, heißen echte Klassen. Die Klasse (x = x) aller Mengen etwa ist eine echte Klasse: es gibt keine Menge A, die alle Mengen als Elemente enthält (s.u.). Auch die Russell’sche Klasse (x 2/ x) aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten, ist eine echte Klasse.  "

Das steht im Skript zu Klassen. (Diese kleine 2 steht für das Elementzeichen)

Warum ist die Klasse aller Klassen keine echte Klasse? 

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Weil die Elemente einer Klasse per Definition Mengen sind, keine echten Klassen. Die Klasse aller Klassen gibt es demzufolge gar nicht.

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Und warum hat Professor Oberschlau nicht recht? Ist das keine Antinomie?

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Noch mal langsam zum Mitschreiben: Klassen haben nur Mengen als Elemente. Echte Klassen sind per Definition niemals Elemente einer Klasse.

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Sorry, aber ich verstehe jetzt, warum es die Klasse aller Klassen, die sich selbst als Element enthalten, gar nicht gibt. Allerdings würde ich das genau so wie die Russelsche Antinomie erklären. Und zwar agenommen, dass diese Klasse Element von sich ist: also K∈K. Allerdings dürfte sie sich ja dann nach der Bedingung, dass die Klasse sich selbst nicht als Element haben soll, also K∉K verstoßen. 

Also müsste gelten K∉K. Dies allerdings erfüllt die Bedingung der Klassen, die in der Klasse aller Klassen, sein dürfen. Somit wäre K∈K.  

Also gibt es die Klasse nicht. Warum aber ist das keine Antinomie?

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Kann man schreiben, dass es diese besagte Klasse gar nicht gibt. Aber im Gegensatz zur naiven Mengenlehre führt das nicht zu einer Antinomie, da kein Axiom besagt, dass es diese Klasse geben muss?

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Def.: Eine Klasse x heisst Menge, wenn es eine Klasse y mit x ∈ y gibt. Eine Klasse , die keine Menge ist, heisst echte Klasse.

Triviale Folgerung aus der Definition: Echte Klassen sind in keiner Klasse als Elemente enthalten.

Die groesste Klasse ("Allklasse") ist die Klasse aller Mengen.

Klassen von (echten) Klassen gibt es nicht. Sonst koennte man in der Tat alle bekannten Antinomien auf der Ebene von Klassen reproduzieren. Das ist die Pointe, die Du Oberschlau mal verklickern solltest. Ansonsten solltest Du mal die Antwort lesen.

Answer 1

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Klassen sind ihrer Herkunft nach Umfaenge oder Extensionen von Eigenschaften für Mengen. Daher sind zwar ihre Elemente Mengen, aber sie selbst brauchen keine Mengen zu sein.

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Fuer die "Russelsche Klasse" $$K_R=\{x:\text{$x$ ist Menge und $x\notin x$}\}$$ gewinnt man mit $$K_R\in K_R\Leftrightarrow\text{$K_R$ ist Menge und $K_R\notin K_R$}$$ sofort, dass \(K_R\) keine Menge ist.

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Eine Mengenlehre mit Klassen erweist sich in der Mathematik dort als vorteilhaft, wo echte Klassen Gegenstand der Untersuchungen sind. Bis zu einem gewissen Grad handelt es sich dabei jedoch nur um Vorteile sprachlicher Natur.

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(Ebbinghaus et al., Zahlen, Springer)