Gibt es eine Menge die alle Mengen ausser sich selbst beinhaltet?

Question

Wie kann ich  beweisen oder das Gegenteil beweisen?

Ich verwende die ZF Axiome

Answer 1

Ist das die "Russelsche Antinomie"?

Comments

Noch nicht ganz. Wenn man die Existenz einer solchen Menge M postuliert, dann kann man mittels Aussonderungsaxiom R := {x∈M | x∉x} bilden und sich fragen ob R ∈ R ist.

Angenommen R ∉ R. Laut Definition von R muss dann R ∈ R oder R∉M sein.

R ∈ R geht nicht, wegen Annahme. R∉M ist aber durchaus möglich, nämlich wenn R = M ist.

Das kann man aber reparieren.

Answer 2

Wenn es eine solche Menge M geben würde, dann wäre nach dem Paarmengenaxiom {∅, M} ebenfalls eine Menge.

Nach dem Paarmengenaxiom wäre dann auch {M, {∅, M}} eine Menge.

Nach dem Vereinigungsaxiom wäre dann auch A:= M ∪ {∅, M} eine Menge.

A enthält alle Mengen und das führt mittels Aussonderungsaxiom zur russelschen Antinomie.