Asymptote von f(x) = (9x^2 − 4) / (3x − 2) schief oder senkrecht?

Question

hi,

(9x^2 − 4) / (3x − 2)

senkrechte Asy: 3x-2 = 0  x = 2/3

schiefe Asy: Zählergrad = Nennergrad+1

Passt beides. Woher weiß ich jetzt ob die Asymptote schief oder senkrecht ist?A

Answer 1

f(x) = (9x² − 4) / (3x − 2) 

hat vielleicht 2 Asymptoten.

Bsp. mit 2 Asymptoten ~plot~ (9x^2 - 3)/(3x-2) ;[[10]] ~plot~

Rechne beide aus.

Allerdings: Vergiss den 3. Binom nicht. Es kann sein, dass eine der Asymptoten von f(x) = (9x² − 4) / (3x − 2)   gar keine Asymptote ist. 

Comments

müssen wir nur bestimmen und zum ausrechnen ist keine Zeit vorgesehen. Geht nur ausrechnen? Ansonsten muss ich es so stehen lassen.

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3. Binomische Formel kennst du? 

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Ja ausrechnen ist kein Problem, aber in der Prüfung soll man nur bestimmen, und 30 min sind knapp für den Rest ^^ Wenns nicht anders geht dann muss ich wohl sonst nichts weiter machen.

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f(x) = (9x² − 4) / (3x − 2) = (3x + 2)(3x - 2) / ( 3x -2)   | für Nenner ≠ 0

 = 3x + 2 .

Das solltest du eigentlich auch mit "scharf hinschauen" rausbekommen. 

~plot~ (3x + 2)(3x - 2) / ( 3x -2) ~plot~

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Jetzt ist der Graph richtig. Oben war er falsch.

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@Roland: Lies meinen Text. 

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@Lu

Ich denke es verwirrt den Schüler eher, wenn du nicht seine Funktion nimmst sondern eine ganz ganz ähnliche.

Sogar Roland war ja offensichtlich verwirrt. 

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Stimmt. Ich habe ihn erst mal "denken" lassen. 

Answer 2

3. binomische Formel anwenden

f(x) = (9·x^2 - 4)/(3·x - 2) = (3·x + 2)(3·x - 2)/(3·x - 2)

Jetzt eine Stetige Ergänzung machen und durch (3·x - 2) kürzen

f(x) = 3·x + 2 mit D = R \ {2/3}

Ist also schief.

Schief ist es übrigens immer solange Zählergrad um eins größer als der Nennergrad ist. Nur eine senkrechte Asymptote entfällt wenn man stetig ergänzen kann oder der Nenner nicht null werden kann.

Answer 3

die angegebene Funktion besitzt keine Asymptote,sondern eine stetige hebbare Lücke.

Comments

Was genau in der Definition von Asymptote spricht gegen eine Asymptote 

f(x) = 3·x + 2

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Danke. Es muss in meiner Antwort heißen senkrechte Asymptote.

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Nach Wikipedia:

"Eine Asymptote (altgr. ἀσύμπτωτος asýmptōtos „nicht übereinstimmend“,[1] von altgr. πίπτω pípto „ich falle“) ist in der Mathematik eine Funktion, der sich eine andere Funktion im Unendlichen annähert. ... Nähert sich ein Graph einer Geraden an, ohne dass sich beide je im Verlauf berühren, so ist die Gerade eine Asymptote des Graphen."

Nun könnte man denke ich darüber diskutieren ob eine Funktion sich selbst als Asymptote haben kann bzw. ob man dann von einer Asymptote spricht. Das hängt rein von der Definition ab.

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Nimmt man die rein formale Definition

Eine lineare Funktion g(x) = mx + b ist eine Asymptote von f, wenn f(x) − p(x) --> 0 fur x --> ± ∞

Bei dieser Definition kann eine lineare Funktion sich selbst auch als Asymptote haben.